Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.
Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:
$y'=2y+6$
Soluzione:
Questa tipologia di equazioni, ossia quelle nella forma $y'+a(x)y=b(x)$, si risolve tramite il metodo del fattore di integrazione; generalmente la dimostrazione della relazione che segue si trova sui manuali delle superiori.
Le soluzioni sono descritte da:
$y=e^{-A(x)}\int b(x)e^{A(x)}dx$, ove $A(x)=\int a(x) dx$.
Nel caso in questione si ha che $a(x)=-2 \to A(x)=-2x+c, b(x)=6$. Sostituendo si ottiene:
$y=e^{2x} \int e^{-2x} \times 6 dx = 6e^{2x} \int e^{-2x} dx= 6e^{2x}(-\frac{1}{2e^{2x}}+c)=-3+6ce^{2x}=-3+Ce^{2x}$.
Il 6 è stato assorbito dalla costante dato che è un numero. Generalmente si preferisce inserire la costante di integrazione solo nell'integrale principale della relazione.
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Livello 6