Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.
Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Individuare le soluzioni della seguente equazione differenziale:
$y'=xy\cos x$
Soluzione:
Dato che non è presente il termine $b(x)$ e vi è una relazione di prodotto tra $y'$ e $y$, conviene utilizzare il metodo di risoluzione per variabili separabili invece che quello tradizionale.
Il metodo consiste nel portare tutti i fattori in $y$ nel lato del differenziale per poi procedere tramite il teorema fondamentale del calcolo integrale.
$y'=xy\cos x$
$\frac{y'}{y}=x\cos x$
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale vale:
$\int \frac{dy}{y}=\int x \cos x dx$ (i differenziali sbucano da ciò: $y'=\frac{dy}{dx}$)
$\ln |y|=x \sin x + \cos x + c$
$|y|=e^{x\sin x + \cos x +c}$
L'insieme delle soluzioni è dunque:
$y=\pm e^{x\sin x + \cos x}e^c=\pm ke^{x\sin x +\cos x}$, ove $k \in \mathbb{R}$.
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Livello 6