Integrali di equazioni lineari

$ y' +y = 2 sinx $

ODE lineare a coefficienti costanti del 1° ordine non omogeneo.

1. Soluzione generale dell'omogeneo associato $y'+y = 0$

• x+1 = 0        (polinomio caratteristico)
• x = -1           (radice del polinomio caratteristico 

La soluzione generale dell'omogeneo associato è $ y(x) = c e^{-x}$

2. Soluzione particolare del non omogeneo.

Ricerchiamo la soluzione nella forma $ \bar y(x) = a \cdot sinx + b \cdot cosx$ per cui

$ \bar y'(x) = a\cdot cos x - b \cdot sinx $

Introducendole nell'equazione non omogenea

$ a \, cosx - b \, sin x + a\, sinx + b \, cosx = 2 sinx $

dalle quali ricaviamo

$ (a+b) cos x = 0

$ (a-b) sin x = 2 sinx

Dalle quali ricaviamo 

1. a+b = 0
2. a-b = 2    

Sommando ricaviamo a = 1, per cui b = -1

Una soluzione particolare è

$ \bar y(x) = sin x - cos x $

3. Soluzione generale della non omogenea è la somma della soluzione generale dell'omogenea con la soluzione particolare

$ y(x) = c e^{-x} + sin x - cos x $