Integrali di equazioni lineari

Riscriviamola, supponendo x ≠ 2, come

$ y' +\frac{1}{x-2}y = \frac{x^2-4}{x-2} = x+2 $

ODE di primo ordine a coefficienti variabili.  Usiamo la formula del fattore integrante

$ y(x) = c \cdot e^{-A(x)} + e^{-A(x)} \int e^{A(t)} b(t) \, dt $

dove:

1. a(x) è il coefficiente variabile di y (nel ns. caso 1/(x-2) )
2. A(x) è una primitiva di a(x)
3. b(x) è il termine non omogeneo (nel ns. caso x + 2)

Calcoliamo A(x)

• $ A(x) = \int a(x) dx \, dx = ln(x-2)  $

Applichiamo la formula

$ y(x) = c \cdot e^{-ln(x-2)} + e^{-ln(x-2)} \int e^{ln(t-2)} \cdot (t+2) \, dt $

$ y(x) = c \cdot e^{-ln(x-2)} + e^{-ln(x-2)} \int (t-2) (t+2) \, dt $

$ y(x) = \frac{c}{x-2} + \frac{1}{x-2} \int (t^2-4) \, dt $

$ y(x) = \frac{c}{x-2} + \frac{1}{x-2} ( \frac{x^3}{3} -4x) $

$ y(x) = \frac{c}{x-2} + \frac{1}{x-2} ( \frac{x^3-12x}{3}) $

$ y(x) = \frac {3c + x^3 -12 x}{3(x-2)} $

3c è una costante che possiamo chiamare c

$ y(x) = \frac {c + x^3 -12 x}{3(x-2)} $