Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
Il problema di Cauchy è composto da una equazione differenziale del 1° ordine a coefficienti variabili. Useremo il metodo del fattore integrante.
a.
$ y' -\frac{y}{x} = x^3 $ con x > 0
dove:
Calcoliamo $A(x) = \int a(x) \, dx = - \int \frac{1}{x} \, dx = - ln(x) $
La soluzione generale è data dalla
$ y(x) = c\,e^{-A(x)} + e^{-A(x)}\int e^{A(t)} \cdot b(t) \, dt $
$ y(x) = c\,e^{lnx} + e^{lnx}\int e^{-lnt} \cdot t^3 \, dt $
$ y(x) = c\,x + x\int e^{ln(\frac{1}{t})} \cdot t^3 \, dt $
$ y(x) = c\,x + x\int \frac{1}{t} \cdot t^3 \, dt $
$ y(x) = c\,x + x\int t^2 \, dt $
$ y(x) = c\,x + x\ cdot \frac{x^3}{3} $
$ y(x) = c\,x + \frac{x^4}{3} $
b. Problema di Cauchy
imponiamo la condizione $ y(3) = 6 $
$ 6 = 3c +3^3 $
$ c + 9 = 2 \; ⇒ \; c = -7 $
La funzione soluzione del problema di Cauchy è
$ y(x) = -7x + \frac{1}{3} x^4 $
21742
punti
Livello 6