Integrali con Cauchy

Problema:

Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

$\{y'=-\frac{y}{x^2}+\frac{1}{x^2}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

Soluzione:

Prima di risolvere il sistema è opportuno riscrivere l'equazione portando tutte le y da un lato e le x dall'altro per utilizzare il metodo di risoluzione per variabili separabili.

$\{y'=-\frac{y}{x^2}+\frac{1}{x^2}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

$\{y'=\frac{1-y}{x^2}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

Si suppone $1-y \neq 0$; prova a giustificare il motivo per esercizio, perché non si considera $y \equiv 1$ come soluzione? Il problema di Cauchy ammette una ed una sola soluzione? Queste domande non sono del tutto banali, prova a cercare delle risposte se vuoi capire a fondo il magico mondo delle equazioni differenziali. 🙂

$\{\frac{y'}{1-y}=\frac{1}{x^2}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

Si procede con l'integrazione:

$\{ \int \frac{dy}{1-y}= \int \frac{dx}{x^2}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

$\{ -\ln |1-y|= -\frac{1}{x}+c, c \in \mathbb{R}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

Si ricava y:

$\{ \ln |1-y|= \frac{1}{x}+c, c \in \mathbb{R}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

$\{ |1-y|= e^{\frac{1}{x}+c}, c \in \mathbb{R}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

$\{ 1-y= \pm e^{\frac{1}{x}}e^c, c \in \mathbb{R}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

$\{ -y= \pm e^{\frac{1}{x}}K-1, K \in \mathbb{R}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

$\{ y= \mp e^{\frac{1}{x}}K+1, K \in \mathbb{R}, \ \ y(\frac{1}{\ln 2})=5\}$

Si sostituisce il punto dato e si ricava K:

$y= \mp e^{\frac{1}{x}}K+1$

$5= \mp e^{\frac{1}{\frac{1}{\ln 2}}}K+1$

$4= \mp e^{\ln 2}K$

$4= \mp 2K$

$2= \mp K$

$K=\mp 2$

La soluzione è dunque 

$y= \mp \mp2 e^{\frac{1}{x}}+1$

$y=2 e^{\frac{1}{x}}+1$.