Integrali

Che c'entrano gl'integrali del titolo con Archimede, Pappo, Guldino, Cavalieri?
------------------------------
Ogni parabola Γ con asse parallelo all'asse y, apertura a != 0, zeri in O(0, 0) e in A(1, 0) ha equazione
* Γ ≡ y = a*x*(x - 1) ≡ y = a*x^2 - a*x ≡ y = a*(x - 1/2)^2 - a/4
con vertice V(1/2, - a/4).
Due dei coefficienti richiesti sono: (b = - a) & (c = 0).
---------------
Il segmento parabolico delimitato dall'asse x e dall'arco OA ha
* base b = 1 = xA - xO
* altezza h = a/4 = |yV|
* area S = (2/3)*b*h = a/6
* baricentro G(1/2, (3/8)*yV) = (1/2, - (3/32)*a)
---------------
Il volume del solido di rotazione richiesto è
* V(a) = 2*π*|yG|*S = (π/32)*a^2
dal vincolo
* V(a) = (π/32)*a^2 = (49/30)*π ≡ a = ± 28/√15
con la determinazione del terzo coefficiente si ottengono le due possibili parabole che soddisfanno ai requisiti
* Γ1 ≡ y = - 28*x^2/√15 + 28*x/√15
* Γ2 ≡ y = + 28*x^2/√15 - 28*x/√15
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=x*y%3D0%2C784*%28%28x-1%29*x%29%5E2%3D15*y%5E2