Risolvere il seguente integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE.
Risolvere il seguente integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE.
11881
punti
Livello 2
i) Senza
$ \int \frac{x^2+x+1}{x+2} \, dx = \int x-1+ \frac{3}{x+2} \, dx = $
$ = \frac{x^2}{2} - x + 3 \int \frac{1}{x+2} \, dx = $
Osserviamo che il numeratore 1 è la derivata del denominatore (x+2), quindi siamo di fronte a un integrale immediato
$ = \frac{x^2}{2} - x + 3 ln|x+2| + c$
ii) Con
$ \int \frac{x^2+x+1}{x+2} \, dx = $
Poniamo t = x+2 per cui x = t - 2 e inoltre dx = dt- Sostituendo
$ =\int \frac{t^2-4t+4 +t -2 +1}{t} \, dt =$
$ =\int \frac{t^2-3t+3}{t} \, dt =$
$= \int t-3+\frac{3}{t} \, dt =$
questo è un integrale elementare
$ = \frac{t^2}{2} - 3t + 3ln|t| + c =$
$ = \frac{x^2+4x+4}{2} - 3(x+2) + 3ln|2x| + c =$
$ = \frac{x^2}{2} +2x + 2 - 3x-6 + 3ln|2x| + c =$
Riponiamo le costanti in c
$ = \frac{x^2}{2} -x + 3ln|2x| + c =$
21742
punti
Livello 6