[Risolto] Integrali

Problema:

Rappresenta graficamente la funzione $f:y=\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}$ e calcola l'area della regione finita di piano compresa tra il grafico della funzione, l'asse x e la retta di equazione $r:x=\frac{1}{2}$ .

Soluzione: 

Nota: Per disegnare il grafico f va studiata la funzione ricavando intersezioni, punti estremanti, simmetrie et cetera. [In allegato]

Per calcolare l'area sottesa al grafico f è necessario calcolare il seguente integrale definito $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ .

Per risolverlo è opportuno eseguire la sostituzione $u=1-x^2$ e $du=-2x$ , ricordi di sostituire anche gli estremi sostituendo i valori nella formula $u=1-x^2$, ottenendo

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int_{1}^{\frac{3}{4}}\frac{du}{\sqrt{u}}=\int_{\frac{3}{4}}^{1}\frac{du}{\sqrt{u}}=\left[ 2\sqrt{u} \right]_{\frac{3}{4}}^{1}=2-\sqrt{3}$

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.