[Risolto] Integrali

y^2/16 = 1 - x^2/9

y = +- 4/3 rad (9 - x^2)

Quello che devi trovare é

2 S_[-3,3] 4/3 rad (9 - x^2) dx = 8/3*2 S_[0,3] rad(9 - x^2) dx =

= 16/3 S_[0,3] rad(9 - x^2) dx

Due volte l'area della parte superiore ( segno + )

ed un ulteriore 2 perché la funzione é pari.

Questo la calcoli ponendo x = 3 sin t e buona fortuna

Non occorre il maglio di Terni per aprire le noci, ma pure la mazzetta da mezzo chilo è un overkilling.
Il testo dell'esercizio 335 non parla di integrali: si limita a chiedere l'area S racchiusa da un ellisse che è, notoriamente, pigreco volte il prodotto dei semiassi "a" e "b" (quando i semiassi sono eguali, a = b = r, S = π*r^2).
Per ricavare i semiassi dall'equazione di un'ellisse Γ qualsiasi la si deve ridurre alla forma riferita agli assi di simmetria
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
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Nel caso in esame l'ellisse è già data in tale forma dalla quale si leggono a = 3, b = 4; quindi S = π*3*4 = 12*π.
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Se però proprio ci tieni a ottenere il risultato da un integrale devi aver presente che, per definizione di assi di simmetria, l'area S è il quadruplo dell'area Q di un suo quadrante e che questo, nella forma riferita agli assi, è tutto in un quadrante del piano Oxy. Pertanto
* S = 4*Q
* Q = ∫ [x = 0, a] y*dx = ∫ [x = 0, a] (b*√(1 - (x/a)^2))*dx =
= b*∫ [x = 0, a] (√(1 - (x/a)^2))*dx
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Con
* f(x, k) = √(1 - (x/k)^2)
* F(x, k) = ∫ f(x)*dx = ∫ (√(1 - (x/k)^2))*dx = (x*√(1 - (x/k)^2) + k*arcsin(x/k))/2 + c
* I(f, u, v, k) = F(v) - F(u) =
= ((v*√(1 - (v/k)^2) + k*arcsin(v/k))/2) - ((u*√(1 - (u/k)^2) + k*arcsin(u/k))/2) =
= (v*√(1 - (v/k)^2) - u*√(1 - (u/k)^2))/2 + k*(arcsin(v/k) - arcsin(u/k))/2
si ha
* I(f, 0, a, a) = (a*√(1 - (a/a)^2) - 0*√(1 - (0/a)^2))/2 + a*(arcsin(a/a) - arcsin(0/a))/2 = π*a/4
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Quindi
* S = 4*Q = 4*(b*∫ [x = 0, a] (√(1 - (x/a)^2))*dx) =
= 4*b*π*a/4 = π*a*b
che, per a = 3 e b = 4, è proprio S = π*3*4 = 12*π.