Integrale indefinito immediato

Preliminari.

Consideriamo l'integrale immediato dell'arcoseno

$ \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-|f(x)|^2}} \, dx = arcsin(f(x)) + c$

nel nostro caso f(x) = 4x² per cui

$  \int \frac{8x}{\sqrt{1-16x^4} }\, dx = arcsin(4x^2) + c$.

Passiamo all'integrale dato

$ \int \frac{x\cdot arcsin(4x^2)} {\sqrt{1-16x^4}} = \frac{1}{8} \int \frac{8x}{\sqrt{1-16x^4} } \cdot arcsin(4x^2) \, dx $

affrontiamolo per parti.

• fattore finito $ h(x) = \frac{arcsin(4x^2)}{8} \; ⇒ \; h'(x) = \frac{x}{\sqrt{1-16x^4}} $
• fattore differ. $ g'(x) =\frac{8x}{\sqrt{1-16x^4}} \; ⇒ \; g(x) = arcsin(4x^2) $

per cui

$ \int \frac{x\cdot arcsin(4x^2)} {\sqrt{1-16x^4} }= \frac{1}{8} [arcsin(4x^2)]^2 - \int \frac{x\cdot arcsin(4x^2)} {\sqrt{1-16x^4}} $ 

Riportiamo il secondo addendo al primo membro

$ 2 \cdot \int \frac{x\cdot arcsin(4x^2)} {\sqrt{1-16x^4} }= \frac{1}{8} [arcsin(4x^2)]^2 + c  $

In conclusione

$ \int \frac{x\cdot arcsin(4x^2)} {\sqrt{1-16x^4}} = \frac{1}{16} [arcsin(4x^2)]^2 + c$