[Risolto] integrale indefinito esercizio

Opzione 1

Opzione 2

Anch'io

• fattore finito $ f(x) = arctan(2x) \; ⇒ \; f'(x) = \frac{2}{4x^2+1} $
• fattore differ. $ g'(x) = x \; ⇒ \; g(x) = \frac{x^2}{2}$

per cui

$ = \frac{x^2}{2} arctan(2x) - \int \frac{x^2}{4x^2+1} \, dx = $

$ = \frac{x^2}{2} arctan(2x) - \frac{1}{4} \int \frac{4x^2}{4x^2+1} \, dx = $

$ = \frac{x^2}{2} arctan(2x) - \frac{1}{4} \int \frac{4x^2+1-1}{4x^2+1} \, dx = $

$ = \frac{x^2}{2} arctan(2x) - \frac{1}{4} \int 1 -\frac{1}{4x^2+1} \, dx = $

$ = \frac{x^2}{2} arctan(2x) - \frac{1}{4}[ x - \int \frac{1}{4x^2+1} \, dx] = $

$ = \frac{x^2}{2} arctan(2x) - \frac{1}{4}[ x -\frac{1}{2} \int \frac{1}{4x^2+1} \cdot 2 \, dx] = $

Si tratta di un integrale immediato tra i più semplici (se non li conosci puoi risolverlo per sostituzione)

$ = \frac{x^2}{2} arctan(2x) - \frac{1}{4}[ x -\frac{1}{2} arctan(2x)] = $

$ = \frac{x^2}{2} arctan(2x) - \frac{1}{8}[ 2x - arctan(2x)] $

Se oltre al testo, riporti il risultato, chi risponde è invogliato a scrivere la stessa rappresentazione.