[Risolto] integrale indefinito

Inizialmente osserviamo che il denominatore non é scomponibile perché ha il delta negativo

La derivata del denominatore é 2x + 2. Per farla comparire al numeratore cominciamo a moltiplicare e

dividere per 2   :  1/2 S (2x + 6)/(x^2 + 2x + 2) dx

Adesso per far comparire 2x + 2    notiamo che 2x + 6 = (2x + 2) + 4

1/2 S (2x + 2) /(x^2 + 2x + 2) dx + 1/2 S 4/(x^2 + 2x + 2) dx

avendo applicato la proprietà della somma.

Adesso il primo termine é 1/2 ln |x^2 + 2x + 2| = 1/2 ln (x^2 + 2x + 2)

(il trinomio é sempre positivo).

Il secondo addendo é 2 S d(x+1) /( 1 + (x + 1)^2 ) = 2 arctg*(x+1) + C

Componendo per somma

1/2 ln (x^2 + 2x + 2) + 2 arctg*(x+1) + C 

Ciao! 

Quel $\frac{1}{2}$ compare manipolando il numeratore in questo modo: 

$x+3 = x + 1 + 2 = \frac{1}{2}(2x+ 2 +4)$ dove nell'ultimo passaggio si è moltiplicato e diviso per $2$. 

Se con due segnalazioni del link non t'ho convinto dell'utilità di consultare le Tavole evito di segnalartelo la terza volta, ma ribadisco: ti sarebbe utile!
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"non capisco da dove lo ha preso ..."
* x + 3 = 2*(x + 3)/2 = (2*x + 6)/2 = (1/2)*(2*x + 2 + 4) =
= (1/2)*(2*x + 2) + (1/2)*4 =
= (1/2)*(2*x + 2) + 2
tutte con lo stesso denominatore: (x^2 + 2*x + 2) = (x + 1)^2 + 1
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"... e perché ..."
Per predisporre due integrali che si trovano consultando le Tavole
* ∫ (x + 3)*dx/(x^2 + 2*x + 2) =
= (1/2)*∫ (2*x + 2)*dx/(x^2 + 2*x + 2) + 2*∫ dx/(x^2 + 2*x + 2) =
= (1/2)*∫ d(x^2 + 2*x + 2)/(x^2 + 2*x + 2) + 2*∫ dx/((x + 1)^2 + 1) =
= (1/2)*ln(x^2 + 2*x + 2) + 2*arctg(x + 1) + c
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"... e soprattutto se ci sta una regola che lo stabilisce." NO.