Integrale generale dell'equazione lineare

$ y' -\frac{1}{x}y = 1-\frac{1}{x} $

dove: 

1. $a(x) = -\frac{1}{x}  \; ⇒ \; A(x) = \int a(x) \, dx = -ln(x)$    per x > 0
2. $b(x) = 1-\frac{1}{x} $ 

per cui se x > 0

$ y(x) = ce^{ln(x)} + e^{ln(x)} \int e^{-ln(t)} (-1+\frac{1}{t} ) \, dt $

$ y(x) = c \cdot x + x \int \frac{1}{t} (-1+\frac{1}{t} ) \, dt $

$ y(x) = c \cdot x + x \int \frac{1}{t} +\frac{1}{t^2} ) \, dt $

$ y(x) = c \cdot x + x [ln(x) +\frac{1}{x} ] $

$ y(x) = c \cdot x + x (ln(x) +\frac{1}{x}) $

$ y(x) = c \cdot x + x \, ln(x) + 1 $

se, invece x < 0

1. $a(x) = -\frac{1}{x}  \; ⇒ \; A(x) = \int a(x) \, dx = -ln(-x)$    per x < 0
2. $b(x) = 1-\frac{1}{x} $

$ y(x) = ce^{ln(-x)} + e^{ln(-x)} \int e^{-ln(-t)} (-1+\frac{1}{t} ) \, dt $

$ y(x) = c \cdot (-x) - x \int -\frac{1}{t} (-1+\frac{1}{t} ) \, dt $ Il prodotto per -1 passa all'interno di c

$ y(x) = c \cdot x + x \int \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} ) \, dt $

$ y(x) = c \cdot x + x [ln(-x) +\frac{1}{x} ] $

$ y(x) = c \cdot x + x (ln|x| +\frac{1}{x}) $

$ y(x) = c \cdot x + x \, ln|x| + 1 $

questa soluzione include anche la soluzione per x > 0