[Risolto] Integrale definito

Inizialmente identifico le tangenti per il punto indicato

scrivendo la risolvente del sistema parabola - fascio proprio

y = kx^2 + 2

y - 1 = m(x - 0)

y = mx + 1

kx^2 - mx + 1 = 0

e imponendo che il delta sia uguale a 0

m^2 - 4k = 0

m = +- 2 rad(k)

Poi sostituisco nella risolvente i valori di m trovati

per individuare le coordinate dei punti di tangenza

kx^2 -+ 2 rad(k) x + 1 = 0

(+- rad(k) x - 1)^2 = 0

x = +- 1/rad(k)

y = k * 1/k + 2 = 3

Area triangolo

Riscrivo le coordinate dei vertici

la base é sulla retta y = 3

l'altezza invece va da O a tale retta

il triangolo é isoscele, l'area é b*h/2

(-1/rad(k), 3) (0,0) (1/rad(k), 3)

S = 2/rad(k) * 3/2 = 3/rad(k)

L'area considerata ( la parabola é sotto la retta ) vale

S_[-1/rad(k), 1/rad(k)] [ 3 - kx^2 - 2] dx =

= 2 S_[0, 1/rad(k)] (1 - k x^2) dx =

= 2 [ x - k/3 x^3]_[0, 1/rad(k)] =

= 2 [ 1/rad(k) - k/3 * 1/(k rad(k) ] =

= 2 * 2/(3 rad(k)= ) 4/3 * 1/rad(k)

e il rapporto delle aree é allora 3: 4/3 = 3*3/4 = 9/4

Per mia forma mentis ho la tendenza, per comprendere bene lo spirito del problema e prima di esaminare il caso specifico, a generalizzare un po'; non tanto, solo il giusto.
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Le parabole di apertura a = k > 0, di vertice V(0, h) ed asse parallelo all'asse y sono
* Γ(h, k) ≡ y = k*x^2 + h ≡ k*x^2 - y + h = 0
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La retta polare p del polo P(0, q), con q < h, che interseca Γ nei punti R ed S di tangenza delle rette tangenti r ed s tirate da P (le congiungenti PR e PS) si calcola per sdoppiamento dell'equazione di Γ sulle coordinate di P
* p ≡ k*x*0 - (y + q)/2 + h = 0 ≡ y = 2*h - q
da cui
* (y = 2*h - q) & (y = k*x^2 + h) & (k > 0) & (q < h) ≡
≡ R(- √((h - q)/k), 2*h - q) oppure S(√((h - q)/k), 2*h - q)
* r ≡ PR ≡ y = q - 2*√(k*(h - q))*x
* s ≡ PS ≡ y = q + 2*√(k*(h - q))*x
* |RS| = 2*√((h - q)/k) = base del triangolo isoscele ROS e del segmento parabolico RVS
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L'altezza del triangolo isoscele è l'ordinata di p: 2*h - q.
L'altezza del segmento parabolico è |2*h - q - h| = h - q.
L'area ST del triangolo isoscele è metà del prodotto fra base e altezza e quella SP del segmento parabolico è due terzi del prodotto fra base e altezza
* ST = (1/2)*(2*√((h - q)/k))*(2*h - q)
* SP = (2/3)*(2*√((h - q)/k))*(h - q)
dividendo membro a membro si ha il rapporto in esame
* ST/SP = (3/4)*(2*h - q)/(h - q)
risultato che verifica l'indipendenza dall'apertura.
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Nel caso dell'esercizio x72, con h = 2 e q = 1, si ha
* γ ≡ y = k*x^2 + 2
* p ≡ y = 3
da cui
* R(- 1/√k, 3), S(1/√k, 3)
* r ≡ PR ≡ y = 1 - 2*(√k)*x
* s ≡ PS ≡ y = 1 + 2*(√k)*x
* |RS| = 2/√k
L'altezza del triangolo isoscele è 3 e la sua area è ST = (2/√k)*3/2 = 3/√k.
L'altezza del segmento parabolico è 1 e la sua area è SP = (2/3)*(2/√k)*1 = 4/(3*√k).
* ST/SP = (3/√k)/(4/(3*√k)) = 9/4
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Il richiesto integrale definito ha
* funzione integranda f(x) = p - γ = 3 - (k*x^2 + 2) = 1 - k*x^2
* integrale indefinito F(x) = ∫ f(x)*dx = x - k*x^3/3 + c
* estremo inferiore xR = - 1/√k
* estremo superiore xS = + 1/√k
* integrale definito = F(xS) - F(xR) =
= (1/√k - k*(1/√k)^3/3 + c) - (- 1/√k - k*(- 1/√k)^3/3 + c) =
= 4/(3*√k)
che è proprio lo stesso valore dato dal Teorema di Archimede.