Integrale definito

Determino le coordinate di A e di B

{y = x^2 - 4·x + 7

{y = - x^2/2 + 2·x + 1

Risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 3]

A(2,3)

{y = 12/x

{y = x/2 - 1

Risolvo ed ottengo: [x = -4 ∧ y = -3, x = 6 ∧ y = 2]

B(6,2)

Procedo col calcolo integrale:

( x^2 - 4·x + 7) - ( - x^2/2 + 2·x + 1) = 3·x^2/2 - 6·x + 6

∫(3·x^2/2 - 6·x + 6)dx = x^3/2 - 3·x^2 + 6·x

valutato tra x = 2 ed x = 3:

3^3/2 - 3·3^2 + 6·3 = 9/2

2^3/2 - 3·2^2 + 6·2 = 4

9/2 - 4 = 1/2

(12/x) - (- x^2/2 + 2·x + 1) = (x^3 - 4·x^2 - 2·x + 24)/(2·x)=

=x^2/2 - 2·x + 12/x - 1

∫(x^2/2 - 2·x + 12/x - 1)dx = 12·LN(x) + x^3/6 - x^2 - x

valutato tra x = 3 ed x = 4

12·LN(4) + 4^3/6 - 4^2 - 4 = 24·LN(2) - 28/3

12·LN(3) + 3^3/6 - 3^2 - 3 = 12·LN(3) - 15/2

24·LN(2) - 28/3 - (12·LN(3) - 15/2) = - 12·LN(3/4) - 11/6

( 12/x) - ( x/2 - 1) =(x^2 - 2·x - 24)/(2·x) = - x/2 + 12/x + 1

∫(- x/2 + 12/x + 1)dx = 12·LN(x) - x^2/4 + x

valutato tra x = 4 ed x = 6

12·LN(6) - 6^2/4 + 6 = 12·LN(6) - 3

12·LN(4) - 4^2/4 + 4 = 24·LN(2)

12·LN(6) - 3 - 24·LN(2) = 12·LN(3/2) - 3

Quindi sommando i tre integrali definiti:

1/2 + (- 12·LN(3/4) - 11/6) + (12·LN(3/2) - 3) = 12·LN(2) - 13/3

(soluzione del problema)