Integrale

a. Senza

$ I = \int \frac{x+3}{x^2+4} \, dx $

Osserviamo che:

1. il denominatore non ammette zeri reali, non possiamo usare la decomposizione.
2. la derivata di x^2 + 4 = 2x

Rendiamolo immediato

$ I = \frac{1}{2} \int \frac{2x+6}{x^2+4} \, dx $ 

$ I = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+4} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{6}{x^2+4} \, dx$

$ I = \frac{1}{2} ln(x^2+4) + 3 \int \frac{1}{x^2+4} \, dx$ 

quest'ultimo è un integrale immediato tipo arctangente con m = 2

$ I = \frac{1}{2} ln(x^2+4) + \frac{3}{2} arctan (\frac{x}{2}) $

b.  Con

$ J = \int \frac{x+3}{x^2+4} \, dx $

$ J = \int \frac{x}{x^2+4} \, dx + \int \frac{3}{x^2+4} \, dx$

Sviluppiamo il primo

$ J_1 = \int \frac{x}{x^2+4} \, dx $

Poniamo $t = x^2+4 \; \implies \; xdx = \frac{1}{2} dt $

$ J_1 = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt $

$ J_1 = \frac{1}{2} ln|t| + c_1$

$ J_1 = \frac{1}{2} ln(x^2+4) +c_1 $

Passiamo al secondo

$ J_2 = \int \frac{3}{x^2+4} \, dx$

$ J_2 = 3\int \frac{1}{x^2+4} \, dx$

Poniamo $t = \frac{x}{2} \; \implies \; dx = 2 dt $

$ J_2 = 6\int \frac{1}{4t^2+4} \, dt$

$ J_2 = \frac{6}{4} \int \frac{1}{t^2+1} \, dt$

$ J_2 = \frac{3}{2} arctan(t) + c_2 $

$ J_2 = \frac{3}{2} arctan(\frac{x}{2}) + c_2 $

conclusione $ I = J_1 + J_2 $