[Risolto] Integrale

Ciao!

Per il primo integrale sostituisci $t = \sqrt{7-x}$, da cui $ x = 7-t^2$ e $dx = -2t dt $

quindi ti ritrovi a integrare

$\int \frac{-2t^2}{\sqrt{4-t^2}} dt $ 

che si integra per parti considerando le due funzioni $f(t) = \frac{-2t}{\sqrt{4-t^2}}$ (che ha primitiva $-\sqrt{4-t^2}$ ) e $g(t)= t $. 

Facendo i conti ottieni:

$\sqrt{4-t^2}2t |_0^2 +\int_0^2 2 \sqrt{4-t^2} dt $ 

Il primo termine è nullo quando lo valuti perché $0$ e $2$ sono proprio gli zeri della radice.
Quindi ora devi integrare

 

$\int_0^2 2 \sqrt{4-t^2} dt $

Questo integrale è "standard" e si fa ponendo $t = 2 \sin(u)$ da cui $dt = 2 \cos(u) du $

ottenendo:

$\int 2 \sqrt{4-4\sin^2(u)}2\cos(u) dt = \int 2 \sqrt{4\cos^2(u)}2\cos(u) dt = \int 4\cos(u) \cdot 2\cos(u) dt = \int 8 \cos^2(u) du $

L'integrale di $cos^2 (u)$ si fa per ricorsione e fa $\frac{\sin(u) \cos(u)+u}{2}$

quindi otteniamo: 

$ 8 \frac{\sin(u) \cos(u)+u}{2} = 4\sin(u) \cos(u)+4u $

Risostituiamo, ricordando che $u = arcsin(\frac{t}{2})$, quindi:

$ 4 \frac{t}{2} \cdot \sqrt{ 1- \sin^2(u)} +4 arcsin(\frac{t}{2})  = $

$4 \frac{t}{2} \cdot \sqrt{ 1- \frac{t^2}{4}} +4 arcsin(\frac{t}{2})  $

e valutandolo tra $0$ e $2$ otteniamo:

$ 0 + 4 arcsin(1) - ( 0-4 arcsin(0)) = 4 \frac{\pi}{2} -0 = 2 \pi $

Il secondo integrale è abbordabile:

se sostituisci $t=tanx$ e quindi $dt/dx=1/cos^2x$ --> $dt=dx/cos^2x$

hai che l'argomento dell'integrale ti viene:

$\int \frac{sinx}{cosx*cos^2x*e^{tanx}}dx=\int \frac{tanx}{cos^2x*e^{tanx}}dx=\int \frac{t}{cos^2x*e^{t}}dx$ 

avere quel $cos^2x$ al denominatore è una manna, perchè adesso basta che tu sostituisca $dt=dx/cos^2x$

$\int \frac{t}{e^t} dt= \int te^{-t} dt$

La primitiva di questa funzione in $t$ è immediata (lo puoi fare per parti, ma è molto facile):

$F(t)=-e^{-t}(t+1)$ 

Adesso devi solo sostituire i numeri 🙂

Grazie mille ad entrambi 🙂