Risolvere senza la tecnica X SOSTITUZIONE.
Spiegare i passaggi.
Risolvere senza la tecnica X SOSTITUZIONE.
Spiegare i passaggi.
11881
punti
Livello 2
formula di integrazione per parti:
∫u dv = uv - ∫v du
Nel nostro caso:
* u = ln(x)
* dv = dx
Calcoliamo du e v:
* du = (1/x) dx
* v = x
Applichiamo la formula di integrazione per parti:
∫ln(x) dx = x ln(x) - ∫x * (1/x) dx
= x ln(x) - ∫dx
= x ln(x) - x + C
Quindi, l'integrale indefinito di ln(x) è:
∫ln(x) dx = x ln(x) - x + C
Ora possiamo calcolare l'integrale definito:
∫[e, e^2] ln(x) dx = [x ln(x) - x] [e, e^2]
= (e^2 ln(e^2) - e^2) - (e ln(e) - e)
= (2e^2 - e^2) - (e - e)
= e^2
Risultato finale:
∫[e, e^2] ln(x) dx = e^2
448
punti
Livello 1
Per parti.
La presenza del logaritmo ci suggerisce di provare con la tecnica di integrazione per parti.
fattore finito $ f(x) = ln(x) \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{x} $
fattore differ. $ g'(x) = 1 \; ⇒ \; g(x) = x $
per cui
$\int_e^{e^2} ln (x) \, dx =$
$ = x\,ln\,x - \int_e^{e^2} 1 \, dx =$
$= \left. x\,ln\,x - x \right|_e^{e^2} =$
$ = e^2\,lne^2- e^2 - e\,lne + e = e^2 $
21742
punti
Livello 6