equazioni lineari in seno e coseno

Equazione 252:
sin(x) - cos(-x) = √2 / 2

Ricordiamo che cos(-x) = cos(x):
sin(x) - cos(x) = √2 / 2

Formule parametriche:
Poniamo:
t = tan(x/2)

Ricordiamo le formule parametriche:
sin(x) = (2t) / (1 + t^2)
cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2)

Sostituiamo nell'equazione:
(2t) / (1 + t^2) - (1 - t^2) / (1 + t^2) = √2 / 2

Moltiplichiamo entrambi i lati per 2(1 + t^2):
4t - 2(1 - t^2) = √2 (1 + t^2)

Risolviamo per t:
4t - 2 + 2t^2 = √2 + √2 t^2
(2 - √2) t^2 + 4t - (2 + √2) = 0

Troviamo le soluzioni per t usando la formula quadratica:
t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
t = (-4 ± √(16 + 4(2 - √2)(2 + √2))) / (2(2 - √2))
t = (-4 ± √(16 + 4(4 - 2))) / (4 - 2√2)
t = (-4 ± √24) / (4 - 2√2)
t = (-4 ± 2√6) / (4 - 2√2)
t = (-2 ± √6) / (2 - √2)

Razionalizziamo i denominatori:
t = (-2 ± √6)(2 + √2) / (4 - 2)
t = (-4 - 2√2 ± 2√6 + √12) / 2
t = (-4 - 2√2 ± 2√6 + 2√3) / 2
t = -2 - √2 ± √6 + √3

Ora troviamo x usando la relazione x = 2arctan(t):
x = 2arctan(-2 - √2 + √6 + √3) + 2kπ (k è un intero)
x = 2arctan(-2 - √2 - √6 - √3) + 2kπ (k è un intero)

Soluzioni:
Le soluzioni per x sono date da:
x = 2arctan(-2 - √2 + √6 + √3) + 2kπ
x = 2arctan(-2 - √2 - √6 - √3) + 2kπ

dove k è un intero.