Aiuto per favore
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Livello 1
segui il suggerimento.
$sinx=t$ e quindi $\frac{dt}{dx}=cosx$ ovvero $dt = cosx dx$
quindi
$\int \frac{cosx}{cos^2x-4sinx-8} \,dx =\int \frac{cosx}{1-sin^2x-4sinx-8} \,dx=-\int \frac{1}{t^2+4t+7} \,dt$
adesso lo devi vedere così:
$\int \frac{1}{t^2+4t+7} \,dt=\int \frac{1}{t^2+4t+4+3} \,dt=\int \frac{1}{(t+2)^2+\sqrt{3}^2} \,dt$
e devi riconoscere che è nella forma:
dove $a=\sqrt{3}$ e $f(t)=t+2$
quindi la soluzione è
$\int \frac{1}{(t+2)^2+\sqrt{3}^2} \,dt=\frac{1}{\sqrt{3}}arctan \frac{t+2}{\sqrt{3}}+c=\frac{1}{\sqrt{3}}arctan \frac{sinx+2}{\sqrt{3}}+c$
Nota che la soluzione è uguale a quella del libro, la differenza è che il libro ha razionalizzato i denominatori, cosa che è totalmente inutile.
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Livello 9