IMMAGINE DI UNA FUNZIONE!

$y(x) = \sqrt{\frac{x-3}{x-4}}$

• Dominio y(x) = (-∞,3] U (4, +∞)
• Immagine y(x).
  • Osserviamo che dalle proprietà delle radici, segue che y ≥ 0
  • L'immagine sarà data dall'insieme delle y≥0 che ammettono almeno una soluzione dell'equazione

$y = \sqrt{\frac{x-3}{x-4}}$ per le x appartenenti al Dominio di y(x)

$y^2 = \frac{x-3}{x-4}$

$ y^2x - 4y^2 = x-3$

$y^2x - x = 4y^2 - 3$

$ x = \frac {4y^2-3}{y^2-1}$

Se mi dici una y ≥ 0 io ti dico almeno una x la cui immagine è proprio la tua y. C'è un ulteriore vincolo il termine al denominatore $y^2-1$ deve essere diverso da zero altrimenti, la formula trovata risulta priva di senso. In altre parole per 

y = ± 1

non esiste una x che ha come immagine la y.

Osserviamo che y=-1 viola la condizione y ≥ 0 e quindi possiamo non considerarla. Rimane y = 1, punto che dovrà essere escluso dall'insieme Immagine.

Ti consiglio di fare la semplice verifica che l'equazione

$1 = \sqrt{\frac{x-3}{x-4}}$

non ammette soluzione.

Conclusione. L'insieme immagine di f(x) è

Im f(x) = [0, 1) U (1, +∞)