Il salto del crepaccio

Uno sciatore supera un crepaccio di ampiezza pari a L = 2,8 m spiccando un balzo con velocità orizzontale di Vox = 7,8 m/s.

1. Se la direzione del moto dello scalatore nel punto in cui attera è 45° ( cioè se il valore assoluto della componente verticale Vy della velocità è uguale alla sua componente orizzontale Vx = Vox) qual é la differenza di altezza Δh tra i due bordo del crepaccio?

modulo di Vy = g*t

tempo t = Vy/g = 7,8/9,806 = 0,795 sec 

Δh = g/2*t^2 = 4,903*0,795^2 = 3,10 m 

2. A quale distanza ΔL dal bordo del crepaccio atterra lo scalatore?

ΔL = Vox*t-L = 7,8*0,795-2,8 = 3,40 m 

Moto rettilineo uniforme lungo l'asse x:

v0_x = costante 

Moto rettilineo uniforme lungo l'asse y:

V0_y = 0

Essendo l'angolo di impatto 45° =>  vf_y = v0_x = 7,8  m/s

Il modulo della velocità finale dello sciatore è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele. 

V_finale = radice (2) * v0_x   m/s

V_finale² - V_iniziale² = v0_x²

In assenza di forze dissipative la variazione di energia potenziale gravitazionale è pari alla variazione di energia cinetica dello sciatore. 

Quindi:

mg*DH= (1/2) *m* v0_x² 

DH = v0_x² / (2g) = 3,10 m

Dalla legge oraria del moto lungo l'asse y si ricava il tempo di volo (v0_y = 0)

t= vf_y / g = 7,8/9,806 = 0,79 s

Lo sciatore compie quindi un salto di lunghezza:

L= v0_x * t = 7,8*0,79 = 6,16 m

atterrando a:

(6,16 - 2,80) =~ 3,4 m dalla fine del fosso

La parabola
* Γ(a, h) ≡ y = h - a*x^2
ha pendenza
* m(x) = dy/dx = - 2*a*x
che vale meno uno (inclinazione di - 45°) per
* m(x) = - 1 = - 2*a*x ≡ x = 1/(2*a)
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Per superare il crepaccio occorre avere
* x = 1/(2*a) > 2,8 = 14/5 m ≡ 0 < a = 1/(2*x) < 5/28
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Col valore standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
la componente verticale della velocità è
* vy(t) = - g*t
e vale - 7,8 = - 39/5 m/s all'istante T > 0 per cui
* vy(T) = - 39/5 = - (196133/20000)*T ≡ T = 156000/196133 s
quando la posizione è
* X(T) = (39/5)*T = 1216800/196133 m
* y(T) = h - (g/2)*T^2 = h - 608400/196133 m
da cui
* a = 1/(2*x) = 196133/2433600 < 5/28 1/m
* Γ(h) ≡ y = h - 196133*x^2/2433600
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1) "qual è la differenza di quota tra i due bordi del crepaccio?"
* Δy = h - y(T) = 608400/196133 ~= 3.1019767 ~= 3.102 m
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2) "A quale distanza dal bordo del crepaccio atterra lo sciatore?"
* d = X(T) - 14/5 = 3338138/980665 ~= 3.40395 ~= 3.404 m