Il problema di matematica

y = 3·x^2 - 4·x

x - 3·y = 0----> y = x/3

Si deve cercare una retta che sia perpendicolare a quest'ultima e tangente alla parabola data.

La retta generica ad essa perpendicolare, la mettiamo a sistema con la parabola:

{y = - 3·x + q

{y = 3·x^2 - 4·x

quindi procedo alla risoluzione tramite sostituzione

- 3·x + q = 3·x^2 - 4·x

3·x^2 - 4·x + 3·x - q = 0

3·x^2 - x - q = 0

applico la condizione di tangenza: Δ = 0

1 + 12·q = 0----> q = - 1/12

y = - 3·x - 1/12 retta tangente

Ascissa del punto di tangenza:

3·x^2 - x - (- 1/12) = 0

3·x^2 - x + 1/12 = 0

(6·x - 1)^2/12 = 0----> x = 1/6

ordinata del punto di tangenza:

y = - 3·(1/6) - 1/12----> y = - 7/12

[1/6, - 7/12]   punto di tangenza

y = m x + q;  equazione di una retta in generale;  m è il coefficiente angolare.

retta r)  x - 3y = 0;

3y = x;

y = 1/3 x ;  il coefficiente angolare della retta è m = 1/3;

Una retta s perpendicolare a r deve avere il coefficiente m' tale che il prodotto:

m' * m = - 1;

m' = - 1/m;

m' = - 1 / (1/3) = - 3;   m' deve essere di segno opposto ed essere l'inverso di m.

s)  y = - 3 x + q ;  (insieme di tutte le rette  perpendicolari a r; bisogna trovare q.

Deve essere tangente alla parabola y = 3x^2 - 4x;

Dobbiamo trovare i punti in cui si incontrano, retta e parabola (sono due) e imporre che i due punti coincidano.

Sistema retta - parabola:

y = - 3 x + q;

y = 3x^2 - 4x;

3x^2 - 4x = - 3x + q;

3x^2 - 4x + 3x - q = 0;

3x^2 - x - q = 0;

x = [+ 1 +- radice quadrata(1 + 4 * 3 * q)] /6;

x = [+ 1 +- radice quadrata(1 + 12 q)] /6;

 Δ = 1 + 12 q; se  Δ = 0, allora le due soluzioni coincidono, la retta incontra la parabola in un solo punto, il punto di tangenza

1 + 12  q = 0;

12 q = - 1;

q = - 1/12;

la retta s ha equazione:

y = - 3x - 1/12;

ascissa del punto di tangenza, lo troviamo sostituendo q nel sistema retta - parabola:

3x^2 - 4x = - 3x + q;

3x^2 - x - q = 0;

3x^2 - x + 1/12 = 0;

36x^2 - 12x + 1 = 0;

x = [+ 6 +- radice quadrata(36 - 36)] / 36;

x = [+ 6 +- 0] / 36 = + 1/6; (ascissa);

Ordinata del punto di tangenza:

y = - 3x - 1/12;

y = - 3 * (1/6) - 1/12;

y = - 1/2 - 1/12 ;

y = (- 6 - 1) / 12;

y = - 7/12; (ordinata);

Punto di tangenza: T (+ 1/6 ; - 7/12).

Ciao  @amatoredilusso

Per il grafico guarda quello perfetto di @lucianop  che ringrazio sempre.