[Risolto] Il grafico probabile

Studiare il "segno" di una funzione vuol dire determinare dove è positiva e dove è negativa.

Per farlo, risolviamo la disequazione:

$ f(x) > 0$

dove $f(x)$ è la funzione da studiare. In questo caso risolviamo:

$ ln\frac{x+5}{2x} > 0$

Facciamo l'esponenziale di ambo i membri per togliere il logaritmo:

$ e^{ln\frac{x+5}{2x}} > e^0$

E ricordando che esponenziale e logaritmo sono operazioni inverse, otteniamo che:

$ \frac{x+5}{2x} > 1$

Porto tutto a primo membro e faccio il mcm:

$\frac{x+5-2x}{2x} > 0$

$\frac{5-x}{2x} > 0$

Ora studiamo il segno della disequazione separando numeratore e denominatore:

N: $5-x > 0$ -> $x <5$

D: $2x > 0$ -> $x > 0$

Studiamo i segni dei due fattori:

___0___5___

++++++-----

----++++++

-       +     -

 

Dai segni otteniamo che la funzione è positiva per $0<x<5$ e negativa per $x<0$ v $ x>5$

 

Noemi

Nell'ipotesi che x sia il nome di una variabile reale, la funzione
* f(x) = y = ln((x + 5)/(2*x))
ha
* dominio: l'intero asse reale R ≡ x
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss Π ≡ y = a + i*b
* insieme di definizione: R\{- 5, 0}
* insieme di definizione reale: g(x) = (x + 5)/(2*x) > 0 ≡ (x < - 5) oppure (x > 0)
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L'iperbole argomento
* g(x) = y = (x + 5)/(2*x)
ha asintoti x = 0 ed y = 1/2 quindi
* per x < - 5: 0 < g(x) < 1/2 → f(x) < 0
* per x = - 5: g(x) = 0 → f(x) è indefinita
* per - 5 < x < 0: g(x) < 0 → f(x) ha valori complessi
* per x = 0: g(x) è indefinita → f(x) è indefinita
* per 0 < x < 5: g(x) > 1 → f(x) > 0
* per x = 5: g(x) = 1 → f(x) = 0
* per x > 5: 1/2 < g(x) < 1 → f(x) < 0
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3Dln%28%28x--5%29%2F%282*x%29%29%5Dx%3D-19to19%2Cy%3D-19to19
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+y%3Dln%28%28x--5%29%2F%282*x%29%29