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Livello 0
53)
(b^4 + 2b^3 + 4b^2 + 4b + 1) : (b^2 + 1) =
b^4 : b^2 = b^2; (primo monomio).
b^2 * (b^2 + 1) = b^4 + b^2; si sottrae dal polinomio:
(b^4 + 2b^3 + 4b^2 + 4b + 1) - (b^4 + b^2) = 0 + 2b^3 + 3b^2 + 4b + 1;
(2b^3 + 3b^2 + 4b + 1) : (b^2 + 1) =
2b^3 : b^2 = 2b; (secondo monomio).
2b * (b^2 + 1) = 2b^3 + 2b;
(2b^3 + 3b^2 + 4b + 1) - (2b^3 + 2b) = 0 + 3b^2 + 2b + 1;
(3b^2 + 2b + 1) : (b^2 + 1)=
3b^2 : b^2 = 3; (terzo monomio);
3 * (b^2 + 1) = 3 b^2 + 3; si sottrae:
3b^2 + 2b + 1 - (3 b^2 + 3) = 0 + 2b - 2 ; (resto).
(b^4 + 2b^3 + 4b^2 + 4b + 1) : (b^2 + 1) = (b^2 + 2b + 3) + resto(2b - 2).
Risultato:
Quoziente = b^2 + 2b + 3; resto (2b - 2);
infatti:
(b^2 + 1) * (b^2 + 2b + 3) + (2b - 2) =
= b^4 + 2b^3 + 3 b^2 + b^2 + 2b + 3 + 2b - 2 =
= b^4 + 2b^3 + 4b^2 + 4b + 1.
52)
(4a^3 + 2a^2 + 4a + 3) : (4a + 2)
4a^3 : 4a = a^2;
a^2 * (4a +2) = 4a^2 + 2a; sottraiamo dal polinomio, resta: 0 + 0 + 4a + 3;
(4a + 3) : (4a + 2) = 1;
1 * (4a + 2) = 4a + 2;
4a + 3 - (4a + 2) = 1 (resto);
Quoziente:
(4a^3 + 2a^2 + 4a + 3) : (4a + 2) = (a^2 + 1); resto (+ 1).
Infatti il polinomio P(x) = 4a^3 + 2a^2 + 4a + 3, si ottiene :
(4a + 2) * (a^2 + 1) + (1) =
= 4a^3 + 4a + 2a^2 + 2 + 1 =
= 4a^3 + 2a^2 + 4a + 3.
Ciao @gxdarkino
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Genius I
@mg 👍👍
Dalla relazione fra polinomi
* dividendo-numeratore N = Q*(divisore-denominatore D) + R
in cui (N, D) sono dati, si possono ricavare molte coppie (Q, R) che la rendono vera; ma ce n'è solo una che costituisce (quoziente Q, resto R) della divisione euclidea N/D ed è quella in cui il grado di R è minore del grado di D.
Lo svolgimento della divisione euclidea fra
* dividendo N = b^4 + 2*b^3 + 4*b^2 + 4*b + 1
* divisore D = b^2 + 1
percorre una successione di coppie (Q, R) col l'oculatezza di far diminuire R di un grado ad ogni passo. Ciò si ottiene dividendo, ad ogni passo, solo i monomi di grado massimo del resto parziale e del divisore per avere il quoziente parziale da aggiungere ai precedenti e poi calcolando il nuovo resto parziale sugl'interi polinomi dati.
La procedura iterativa s'innesca con (R = N) & (Q = 0).
------------------------------
* R0 = N = b^4 + 2*b^3 + 4*b^2 + 4*b + 1 = (b^2)*(b^2 + 1) + (2*b^3 + 3*b^2 + 4*b + 1)
* R1 = 2*b^3 + 3*b^2 + 4*b + 1 = (2*b)*(b^2 + 1) + (3*b^2 + 2*b + 1)
* R2 = 3*b^2 + 2*b + 1 = (3)*(b^2 + 1) + (2*b - 2)
qui terminano le iterazioni, avendo ottenuto un resto di grado inferiore al divisore, con:
* quoziente Q = b^2 + 2*b + 3 (somma dei parziali);
* resto R = 2*b - 2 (ultimo dei parziali).
CONTROPROVA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polynomialQuotientRemainder%5Bb%5E4--2*b%5E3--4*b%5E2--4*b--1%2Cb%5E2--1%2Cb%5D
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Genius I
