[Risolto] Identità formule goniometriche

Ciao, prima di tutto ti ricordo che un'identità è una uguaglianza tra due espressioni che risulta sempre verificata per qualsiasi valore dell'incognita. In altre parole, il primo e il secondo membro sono equivalenti tra di loro cioè possono essere riscritti nello stesso modo con un po' di calcoli.

Veniamo ora all'identità in questione. Per verificarla abbiamo bisogno di alcune formule utili e di ricordare alcuni risultati:

FORMULE UTILI:

$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$

$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$

$\cos{2\alpha}=\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha}$

RISULTATI UTILI:

$\frac{\pi}{4}=45°$ userò la notazione in gradi solo per comodità di scrittura

$\sin{45°}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,    $\cos{45°}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Andiamo a verificare che si tratti di una identità:

$\cos{2\alpha}=2\cos{(45°+\alpha)}\cos{(45°-\alpha)}$

$\cos{2\alpha}=2(\cos{45°}\cos{\alpha}-\sin{45°}\sin{\alpha})(\cos{45°}\cos{\alpha}+\sin{45°}\sin{\alpha})$

$\cos{2\alpha}=2(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{\alpha}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\alpha})(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{\alpha}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\alpha})$

Riconosco il prodotto notevole "somma per differenza".

$\cos{2\alpha}=2[(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{\alpha})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\alpha})^{2}]$

$\cos{2\alpha}=2(\frac{2}{4}\cos^{2}{\alpha}-\frac{2}{4}\sin^{2}{\alpha})$

$\cos{2\alpha}=2(\frac{1}{2}\cos^{2}{\alpha}-\frac{1}{2}\sin^{2}{\alpha})$

$\cos{2\alpha}=\cos^{2}{\alpha}-\sin^{2}{\alpha})$

$\cos{2\alpha}=\cos{2\alpha}$

Abbiamo ottenuto quello che volevamo, un'identità!

Beh, sì. Penso proprio che avere sott'occhio un buon formulario aiuti parecchio.
Ad esempio ci puoi trovare le formule di prostaferesi:

https://www.sosmatematica.it/lezione/formule-di-prostaferesi/

la terza delle quali ha proprio la forma del secondo membro della tua espressione (NB: non è corretto scrivere "aiutarmi in questa identità" perché ancora non lo puoi sapere cosa sia; ora come ora quell'espressione è una generica eguaglianza, solo alla fine delle riscritture equivalenti si saprà se era un'equazione o un'identità.)
* 2*cos((p + q)/2)*cos((p - q)/2) = cos(p) + cos(q)
Con
* p = π/2
* q = 2*α
si ha
* 2*cos((π/2 + 2*α)/2)*cos((π/2 - 2*α)/2) = cos(π/2) + cos(2*α) ≡
≡ 2*cos(π/4 + α)*cos(π/4 - α) = 0 + cos(2*α) ≡
≡ 2*cos(π/4 + α)*cos(π/4 - α) = cos(2*α) ≡
≡ VERO
Alla fine di questi pochissimi passaggi si possono concludere due cose:
* l'originaria eguaglianza s'è rivelata essere un'identità;
* "Pensavo di scrivere in cos2α, cos^2α - sen^2α" era una pensata superflua perché non c'è stato alcun bisogno delle formule di duplicazione.
Ma, se il bisogno ci fosse stato, le avresti trovate al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#Formule_di_duplicazione