I modelli matematici per l'epidemiologia

Per descrivere malattie in cui l'immunità ha una durata limitata, dobbiamo modificare il classico modello SIR (Suscettibili - Infetti - Rimossi/Recuperati) introducendo un flusso di ritorno dal compartimento dei recuperati a quello dei suscettibili.

La freccia da aggiungere
La freccia va dal compartimento R (Recuperati/Rimossi) al compartimento S (Suscettibili), indicando che dopo un certo periodo gli individui immuni perdono la protezione e tornano suscettibili all'infezione.

Il modello risultante: SIRS
Questo modello viene chiamato SIRS (Suscettibili → Infetti → Recuperati → Suscettibili) e il diagramma compartimentale diventa:

 
Equazioni differenziali
Le equazioni del modello SIRS sono:

dS/dt = −βSI+ωR
(I suscettibili diminuiscono quando si infettano, ma aumentano quando gli immunizzati perdono l’immunità)
dI/dt = βSI−γI
(Rimane uguale al modello SIR standard).
dR/dt = γI−ωR
(I rimossi aumentano con i guariti, ma diminuiscono man mano che tornano suscettibili).
dove:
β è il tasso di trasmissione, γ è il tasso di guarigione, ω è il tasso di perdita dell'immunità (la nuova freccia che hai chiesto di aggiungere), 1/ω rappresenta la durata media dell'immunità

Interpretazione
Il termine +ωR nell'equazione di S e −ωR nell'equazione di R rappresenta proprio il flusso di individui che perdono l'immunità e tornano suscettibili. Più
ω è grande, più breve è la durata dell'immunità. Se ω=0, si recupera il classico modello SIR con immunità permanente.

La modifica consiste nell’aggiungere un “anello di ritorno” da R a S. Questo trasforma il modello da uno in cui l’epidemia finisce necessariamente quando terminano i suscettibili, a uno in cui la malattia può diventare endemica (cioè restare presente nella popolazione per sempre), perché c’è un continuo rifornimento di persone che possono ammalarsi di nuovo.