[Risolto] Help! Qualcuno mi può aiutare a capire questo esercizio?

@lauretta_16

Essendo AB diametro della circonferenza, il centro C è il punto medio del segmento AB. Quindi:

C=(1/2 ; 1)

R= AB/2 = radice (41)/2

La generica equazione della circonferenza di centro C=(xC, yC) e raggio R è:

(x - xC)² + (y - yC)² = R²

Nel nostro caso:

(x - 1/2)² + (y - 1)² = 41/4

x² + y² - x - 2y - 9 = 0

Se il punto è interno alla circonferenza la sua distanza dal centro è minore del raggio. Puoi verificare che il punto P è interno alla circonferenza. 

Se il punto è esterno alla circonferenza la sua distanza è maggiore del raggio. Puoi verificare che il punto Q è esterno. 

Se il punto è sulla circonferenza la sua distanza dal centro è uguale al raggio. Sostituendo le coordinate del punto nell'equazione della conica si ottiene un'identità. 

ALLO SCOPO DI "capire questo esercizio" DEVI CONTROLLARE SE CONOSCI E SE HAI BEN COMPRESO DUE COSE:
1) la definizione di circonferenza;
2) la formula che, in un riferimento Oxy, traduce la definizione.
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1) Una circonferenza Γ consiste di tutti e soli i punti P(x, y) del piano Oxy che sono equidistanti da un punto fisso C(a, b) detto centro; la comune distanza r è detta raggio. Nel piano Oxy ogni circonferenza è in corrispondenza biunivoca con la terna ordinata dei parametri: Γ(a, b, r).
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2) La relazione pitagorica che dà il quadrato della distanza d fra i punti C(a, b) e P(x, y) è
* |PC|^2 = d^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2
e questa, per ogni valore r > 0, consente di classificare la posizione di ogni P(x, y) rispetto alla Γ(a, b, r)
* se d^2 < r^2 allora P è interno a Γ
* se d^2 = r^2 allora P è sulla Γ
* se d^2 > r^2 allora P è esterno a Γ
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Una volta che siano ben compresi questi due punti l'esercizio si capisce esaminandone il testo e traducendone in formule il significato delle singole frasi; alla fine si sarà costruito il modello matematico del problema rappresentato in narrativa e lo si potrà risolvere.
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"Determina l'equazione della circonferenza..." Γ(a, b, r) ≡
≡ d^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
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"...di diametro AB," ≡
≡ di centro il punto medio C = (A + B)/2 e di raggio r = |CA| = |CB| = |AB|/2
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", con A(- 2, 3) e B(3, - 1),"
da questi valori si calcolano successivamente
* centro C = (A + B)/2 = ((- 2, 3) + (3, - 1))/2 = (1/2, 1)
* raggio r = |CA| = |CB| = |AB|/2 = √41/2 ~= 3.2
* Γ ≡ (x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = (√41/2)^2 = 41/4 = 10.25
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... e si chiede di classificare la posizione di alcuni punti rispetto alla Γ calcolata
* P(0, 3): d^2 = (0 - 1/2)^2 + (3 - 1)^2 = 17/4 = 4.25 < 10.25 ≡ P è interno a Γ
* Q(- 6, 1): d^2 = (- 6 - 1/2)^2 + (1 - 1)^2 = 169/4 = 42.25 > 10.25 ≡ P è esterno a Γ