Gravitazione

Terza legge di Keplero, dimostrata da  Newton con la legge di gravitazione universale:

T^2 / R^3 = costante per tutti i pianeti del Sole.

(T giove)^2 /(R giove)^3   = (T mercurio)^2 / (R mercurio)^3

(T giove)^2 / (T mercurio)^2 = (R giove)^3 / (R mercurio)^3;

(T giove)^2 / (T mercurio)^2 = (7,78 * 10^8)^3 / (57,9 * 10^6)^3;

(T giove)^2 / (T mercurio)^2 = [7,78^3 /57,9^3]  * [10^24 / 10^18];

[(T giove) / (T mercurio)]^2 = 2,426 * 10^-3 * 10^6 = 2,426 * 10^3;

T giove / T mercurio = radicequadrata(2,426 * 10^3) = 49,3;

T giove = 49,3 * (T mercurio).

Ciao @socrate

1^ legge di Keplero:

"L’orbita descritta da ogni pianeta nel suo moto di rivoluzione è un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei fuochi"

2^ legge di Keplero:

" Durante il movimento del pianeta, il raggio che unisce il centro del Sole al centro del pianeta stesso (raggio vettore) descrive aree uguali in tempi uguali"

3^ legge di Keplero:

"Il quadrato del tempo necessario a percorrere l’intera orbita attorno al Sole (periodo di rivoluzione) è proporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole"

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3^ legge di Keplero

La distanza media di Mercurio dal Sole è 57,9 x 10⁶ km, mentre la distanza media di Giove dal Sole è 7.78x10⁸km. Di quanto è più lungo il periodo di rivoluzione di Giove rispetto a quello di Mercurio?

3^ legge di Keplero:

T(Mercurio)^2/d^3=T(Giove)^2/D^3

(T(Giove)/T(Mercurio))^2 =(7.78·x·10^8/(57.9·x·10^6))^3 = 2426.068727

T(Giove)/T(Mercurio)=√2426.068727 = 49.255 (circa)

Partirò dalla fine : il rapporto tra i periodi altro non è che il rapporto tra i raggi orbitali elevato ad 1,5 ; per spiegarlo uso Newton e la sua legge di gravitazione universale :

per ciascun corpo orbitante attorno al Sole vale la relazione :

V^2/r = Ms*G/r^2

ove 

V è la velocita del corpo in orbita in m/s 

r è il raggio dell'orbita supposta circolare in m 

Ms è la massa del Sole in kg

G è la costante di gravitazione universale

semplificando il raggio r si ottiene :

V^2*r = M*G

sostituendo a V la sua espressione pari a 2*π*r/T si giunge a :

39,478*r^3 = Ms*G*T^2

da cui :

rj^3/rm^3 = Tj^2/Tm^2

Tj/Tm = √rj^3/rm^3 = (rJ/rm)^1,5 

Tj/Tm = (77,8/5,79)^1,5 = 49,2551391...