grandezze vettoriali

Guarda la figura:

sen30° = 0,5;

cos30° = radice(3) / 2 = 0,866;

sen45° = radice(2) / 2 = 0,707;

cos45° = 0,707.

105° + 30° = 135°;

180° - 135° = 45°.

v risultante  = radice quadrata(vx^2 + vy^2);

vx = 1,59 u;

vy = 12,07 u;

alfa = arcos (1,59 / 12,17) = 82,5°, (angolo che il vettore somma forma con l'asse x.

Ciao  @ciao______amici

I tre vettori u, v e w = u + v li considero tutt'e tre incoccati nell'origine O del riferimento Oxy e con le frecce nei punti U, V e W.
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Gli addendi sono dati nella forma
* (ρ, θ) = (modulo, anomalia)
dalla quale si trovano le componenti della forma
* (x, y) = (ρ*cos(θ), ρ*sin(θ))
che sono le coordinate dell'estremo freccia, con l'estremo cocca in O.
Addizionando le componenti omologhe dei due addendi si ottengono quelle (x, y) del vettore somma dalle quali si ricava la richiesta forma (ρ, θ) applicando le definizioni
* ρ = √(x^2 + y^2)
* se x < 0 allora θ = π + arctg(y/x)
* se x = 0 allora θ = π/2
* se x > 0 allora θ = arctg(y/x)
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CALCOLI
Dai dati
* u(10, 30°) ≡ U(10*cos(π/6), 10*sin(π/6))
* v(10, 30° + 105°) ≡ V(10*cos(3*π/4), 10*sin(3*π/4))
si ha
* W = U + V = (10*cos(π/6), 10*sin(π/6)) + (10*cos(3*π/4), 10*sin(3*π/4)) =
= (5*(√3 - √2), 5*(1 + √2)) ~= (1.59 > 0, 12.07)
da cui
* |w| = ρ = √((5*(√3 - √2))^2 + (5*(1 + √2))^2) = √(200 + 50*√2 - 50*√6) ~= 12.18
* se x > 0 allora θ = arctg((5*(1 + √2))/(5*(√3 - √2))) =
= arctg(2 + √2 + √3 + √6) = 82° 30' 0''

Vettore risultante $V_R\sqrt{10^2+10^2-2×10×10cos(180°-105°)}=\sqrt{200-200cos(75°)}≅12,175~u$;

angolo del vettore risultante $= 30+\frac{105}{2}=82,5°$;

$V_{Rx}= 12,175cos(82,5°) ≅ 1,589~u$;

$V_{Ry}= 12,175sen(82,5°) = 12,071~u$.

a = ax*i + ay*j       e     b = bx*i + by*j

ax = a*cos30°= 10*sqrt3/2

ay = a*sen30°= 10/2 = 5

bx = b*cos(105+30)=10*(-sqrt2/2)=-5sqrt2

by = b*sen135°= b*sen45°=10sqrt2/2=5sqrt2

cx = ax+bx=5(sqrt3-sqrt2) >0

cy = ay+by=5+5sqrt2 >0

c = cx*i + cy*j 

c = |c| = sqrt(cx^2+cy^2)= 5sqrt(5-2sqrt2sqrt3+3+2sqrt2)=5 sqrt(8 + 2 sqrt(2) - 2 sqrt(6)) = 12.1752...

 

ttps://www.wolframalpha.com/input?i=5sqrt%285-2sqrt2sqrt3%2B3%2B2sqrt2%29

theta sta nel 1° quadrante in quanto sono > 0 sia cx che cy...{sarebbe stato nel 3° se < 0}.

theta=arctan(cy/cx)=82.5°

ttps://www.wolframalpha.com/input?i=arctan%28%285%2B5sqrt2%29%2F%28++5%28sqrt3-sqrt2%29%29%29

 

... aggiungi h ai due link per evitare il bug

V1x = 10°cos 30 = 8,66 u

V1y = 10*sen 30° = 5,0 u

 

V2x = -10*cos 45* = -7,07 u

V2y = 10*sen 45° = 7,07 u 

 

Vx = V1x+V2x = 8,66-7,07 = 1,59 u

Vy = V1y+V2y = 5,0+7,07 = 12,07

V = √Vx^2+Vy^2 = √1,59^2+12,07^2 = 12,17 u 

angolo Θ = arctan Vy/Vx = arctan 12,07/1,59 = 82,50°