Devo disegnare il grafico della primitiva a partire da quello della derivata come posso capire come si comporta a * e - infinito la primitiva?
Devo disegnare il grafico della primitiva a partire da quello della derivata come posso capire come si comporta a * e - infinito la primitiva?
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Livello 0
Ovviamente il comportamento a + e - infinito della primitiva dipende da cosa fa la derivata, quindi vediamo i diversi casi possibili:
1) se la derivata va a + o - infinito vuol dire che la funzione primitiva avrà un coefficiente angolare sempre più grande oppure sempre più piccolo e quindi semplicemente continuerà a crescere o decrescere.
Un esempio è la parabola, che a + e - infinito continua a crescere.
2) se la derivata ha un asintoto orizzontale vuol dire che la primitiva tenderà ad avere un certo coefficiente angolare e lo manterrà costante andando verso gli infiniti. Quindi un asintoto orizzontale della derivata significa un asintoto obliquo della primitiva.
un esempio banale è la retta, che andando all'infinito mantiene sempre la stessa inclinazione: infatti l'asintoto obliquo vuol dire proprio che la tua funzione assomiglia sempre di più ad una retta obliqua.
3) se la derivata all'infinito tende a zero (asintoto orizzontale y=0) allora la primitiva tenderà ad avere un'inclinazione sempre più vicina allo zero. Quindi una derivata che tende a zero implica una primitiva con un asintoto orizzontale (di cui non puoi determinare il valore dal grafico).
un esempio può essere il grafico di e^x + 2, che a -infinito ha un asintoto orizzontale (infatti la sua derivata tende a zero se ci avviciniamo a - infinito).
Spero di essere stato di aiuto e soprattutto chiaro!
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Livello 3
si questo lo so e so anche come dimostrare che con de l'hopital che se m=lim x->+infty di F(x)/x H Lim x->infty di F'(x)=k con l'asintoto della derivata y=k. Volevo capire se dovessi dire precedentemente che la funzione primitiva tende a infinito al tendere di x a infinito e questo non saprei come dimostrarlo
sempre usando l'hopital puoi notare che, se F'(x) tende all'infinito, allora la m tende ad infinito. In senso geometrico significa che la funzione tende ad assumere una pendenza sempre più verticale e quindi non presenta asintoti (che altrimenti bloccherebbero la crescita)
è questo che intendi?
@andreap no praticamente intendo dire che m è calcolabile come l'ordinata dell'asintoto orizzontale della derivata ma non sono come dimostrare che la primitiva tende ad infinito e che esiste q