Grafico funzione esponenziale

Non rimane che fare lo studio di funzione.

i) Funzione  $ y(x) = \frac{1}{log_2 x -1} $

• Dominio 

i)   $log_2 x \; ⇒ \; x > 0 $
ii)  $/log_2 x -1 ≠ 0 \; ⇒ \; /log_2 x - log_2 2 ≠ 0 \; ⇒ \; log_2 (\frac{x}{2}) ≠ 0  \; ⇒ \; \frac{x}{2} ≠ 1 \; ⇒ \; x≠2$

• Dominio = (0, 2) U (2, +∞)
  • Punti di discontinuità per x = 0 e per x = 2

• Asintoti verticali
  • x = 0 
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = 0 $
  • Limite finito; non è un asintoto verticale

• • x = 2 
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^-} y(x) = -\infty $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = +\infty $
  • Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 2

• Asintoto orizzontale
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 $
  • Si tratta di un asintoto orizzontale di equazione y = 0

• Zeri. 
  • y(x) = 0    Ø nessun punto di zero

• Segno y(x)
  • f(x) = 0    Ø nessun punto di zero
  • f(x) < 0  ⇒  log₂ (x) < 1  ⇒ x < 2
  • f(x) > 0  ⇒  log₂ (x) > 1  ⇒ x > 2

ii) Derivata prima  $ y'(x) = - \frac{ln(2)}{xln^2(\frac{x}{2}) $

• Segno y'(x)
  • y'(x) = 0  Ø nessun punto stazionario. Ne massimi, ne minimi relativi
  • y'(x) < 0  in (0, 2) e in (2, +∞) La funzione è ivi monotona decrescente
  • y'(x) > 0  Ø la funzione non è monotona crescente

dall'analisi del segno della derivata prima segue che non vi sono punti stazionari, quindi ne massimi ne minimi relativi.

Con questi dati possiamo abbozzare il grafico della funzione. Prova a schizzarlo.

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/aoangm127q