Grafico di funzione.

i) funzione y(x)

$ y(x) = log_3(\sqrt{log_2(x-1)}) $

• Dominio = (2, +∞). Infatti,

$ y(x) \; ⇒ \; \sqrt{log_2(x-1)} > 0 \; ⇒ \; log_2(x-1) > 0 \; ⇒ \; x-1 > 1 \; ⇒ \; x > 2 $

• •  Un solo punto di discontinuità x = 2 
  • La funzione è continua e derivabile laddove definita (è composizione di funzioni continue e derivabili)

• Asintoti verticali
  • x = 2
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = -\infty $
    • Si tratta di un asintoto verticale destro di equazione x = 2
  • La funzione non ammette asintoti orizzontali (infatti diverge per x→+∞) ne asintoti obliqui visto che ha un andamento logaritmico. Lo puoi dimostrare calcolando m che dovrebbe risultare pari a zero ma, sappiamo che non ammette asintoto orizzontale.  

• Zeri. y(x) = 0 per x = 3

• Segno della funzione:

1. y(x) < 0   in  (2,3)
2. y(x) = 0   per x = 3
3. y(x) > 0   in (3, +∞)

ii) derivata prima y'(x)

$ y'(x) = \frac{1}{2(x-1)ln(3)ln(x-1)} $

• Monotonia. La derivata prima è positiva in tutto il dominio. La funzione y(x) è strettamente crescente. Nessun massimo relativo, nessun minimo relativo

iii) derivata seconda y"(x)

$ y"(x) = -\frac{ln(x+1)+1}{2(x-1)^2 \, ln(3) ln^2(x-1)} $

La derivata seconda è negativa per ogni valore del dominio. Questo significa che la funzione è concava laddove definita.

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/lj6vhns9fo