Grafico di funzione.

y = LN((x - 4)/(x^2 - 5·x))

C.E.

(x - 4)/(x^2 - 5·x) > 0

0 < x < 4 ∨ x > 5

]0; 4[ U ]5; +∞[

Nessuna intersezione con asse ordinate. Con asse ascisse:

LN((x - 4)/(x^2 - 5·x)) = 0

risolvo: x = 3 - √5 ∨ x = √5 + 3

Condizioni agli estremi del C.E:

LIM(LN((x - 4)/(x^2 - 5·x))) =+∞

x---> 0+

x=0 asintoto verticale destro

LIM(LN((x - 4)/(x^2 - 5·x))) =-∞

x---> 4-

x=4 asintoto verticale sinistro

LIM(LN((x - 4)/(x^2 - 5·x)))=+∞

x--->5+

x=5 asintoto verticale destro

LIM(LN((x - 4)/(x^2 - 5·x))) = -∞

x---> +∞

LIM (f(x)/x) =0

Nessun asintoto obliquo

$ y(x) = ln \left( \frac{x-4}{x(x-5)} \right) $

• Dominio = 

Usiamo la griglia dei segni per determinare dove l'argomento del logaritmo è positivo

________0________4______5______

------------------------0++++++++++   x-4

----------X++++++++++++++++++   x

----------------------------------X+++++  x-5

----------X+++++++0--------X+++++   argomento del log.

• Dominio = (0, 4) U (5, +∞)
  • tre punti di discontinuità x = 0; x = 4 e x = 5

• Zeri. 

$ y(x) = 0 \; ⇒ \; \frac{x-4}{x(x-5)} = 1$

$ \frac{-x^2+6x-4}{x(x-5)} = 0$

due soluzioni

1. $ x_1 = 3 - \sqrt{5}$
2. $ x_2 = 3 + \sqrt{5}$

• Segno

0__x₁_______4    5__x₂_______

----0+++++++++++0-----------   num.

X+++++++++++++++++++++  x

-----------------------X++++++++  x-5

(++0----------)XXXX(+0------------  y(x)

1. y(x) < 0 in (x₁, 4) e in (x₂, +∞)
2. y(x) = 0 per x = x₁ = 3 - √5 e per x = x₂ = 3 + √5
3. y(x) > 0 in (0, x₁) e in (5, x₂)

• Asintoti verticali
  • x = 0
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = +\infty $
  • Si tratta di un asintoto verticale destro di equazione x = 0

• • x = 4
  •  
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 4^-} y(x) = -\infty $
  • Si tratta di un asintoto verticale sinistro di equazione x = 4

• • x = 5
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 5^-} y(x) = +\infty $
  • Si tratta di un asintoto verticale destro di equazione x = 5

• Limiti
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = -\infty $
  • Non ci sono asintoti orizzontali
  • La presenza del logaritmo implica che non c'è asintoto obliquo

• Grafico

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