Grafico di funzione.

i) Funzione

$ y(x) = ln(3^{2x}-4 \cdot 3^x+3) $

• Dominio 
  • $3^{2x}+4 \cdot3^x +3 > 0 \; ⇒ \; (3^x-3)(3^x-1) > 0 $
• Dominio = (-∞, 0) U (1, +∞)
  • Ci sono due punti di discontinuità x = 0; x = 1

• Zeri
  • $ y(x) = 0 \; ⇒ \; 3^{2x}-4\cdot 3^x+2 = 0 \; ⇒ \; x_1 = log_3(2-\sqrt{2}); x_2 = log_3(2+\sqrt{2}) $

• Asintoti  Verticali

• • x = 0
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} y(x) = -\infty$
  • E' un asintoto verticale sinistro di equazione x = 0

• • x = 1
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} y(x) = -\infty$
  • E' un asintoto verticale destro di equazione x = 1

• Asintoto orizzontale
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = ln(3)$
  • E' un asintoto orizzontale di equazione y = ln(3)

• Asintoto obliquo. Non c'è un asintoto obliquo destro. m risulta zero.

ii) Derivata prima

$ y'(x) = \frac{2 \cdot 3^x(3^x-2)ln(3)}{(3^{2x}-4\cdot 3^x +3} $

• Segno
  • Il denominatore risulta positivo in tutto il Dominio (vedi Dominio)
  • Il numeratore è positivo per (3^x-2) > 0 ovvero x > log_3 (2) quindi:
    • y'(x) > 0 in (1, +∞) la funzione y(x) è strettamente crescente in (1, +∞)
    • y'(x) < 0 in (-∞, 0) la funzione y(x) è strettamente decrescente in (-∞, 0)
    • y'(x) = 0  Ø non ci sono punti stazionari

iii) Derivata seconda

y"$(x) = -\frac {4 \cdot 3^x(3^{2x}-3\cdot3^x+3) ln^2(3)}{(3^{2x}-4 \cdot 4^x +3)^2} $

Il fattore $(3^{2x}-3\cdot3^x+3)$ risulta positivo in tutto ℝ, quindi

• Segno derivata seconda
  • y"(x) < 0  in tutto il Dominio, quindi la funzione è concava nei due intervalli che compongono il Dominio.
  • y"(x) = 0  Ø  Nessun flesso
  • y"(x) > 0  Ø 

• Grafico

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