GRAFICO , DERIVATA

y = a·x^5 + b·x^2 + c·x + d

y' = 5·a·x^4 + 2·b·x + c

y'' = 20·a·x^3 + 2·b

y''' = 60·a·x^2

y'''' = 120·a·x

Deve essere:

120·a·x = 24·x

che fornisce: a = 1/5 ∨ x = 0

y = 1/5·x^5 + b·x^2 + c·x + d

La derivata seconda si annulla per x = -1:

20·(1/5)·(-1)^3 + 2·b = 0

b = 2

y = 1/5·x^5 + 2·x^2 + c·x + d

passa per l'origine: d=0

6/5 = 1/5·1^5 + 2·1^2 + c·1----> c = -1

(passa per [1, 6/5] )

La funzione polinomiale ha equazione:

y = 1/5·x^5 + 2·x^2 - x

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La derivata seconda è:

y'' = 4·x^3 + 4 = f(x)

calcoliamo y''' in base alla definizione:

f(x+h) = 4·(x + h)^3 + 4

Il rapporto incrementale vale:

(4·(x + h)^3 + 4 - (4·x^3 + 4))/h=

=((4·x^3 + 12·h·x^2 + 12·h^2·x + 4·h^3) + 4 - (4·x^3 + 4))/h=

=(12·h·x^2 + 12·h^2·x + 4·h^3)/h=

=4·h·(3·x^2 + 3·h·x + h^2)/h

quindi:

y'''=

LIM(4·h·(3·x^2 + 3·h·x + h^2)/h) =12·x^2

h---> 0

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Coordinate del punto B

y = 1/5·x^5 + 2·x^2 - x   per x = -1:

y = 1/5·(-1)^5 + 2·(-1)^2 - (-1)----> y = 14/5

B [-1,14/5]

retta tangente in B:

 y' = x^4 + 4·x - 1 per x=-1:

(-1)^4 + 4·(-1) - 1 = -4

y - 14/5 = - 4·(x + 1)---> y = - 4·x - 6/5

retta tangente in A [1, 6/5]

verifico l'ordinata:

y = 1/5·1^5 + 2·1^2 - 1---> y = 6/5 OK!!

f'(1)=1^4 + 4·1 - 1= 4

y - 6/5 = 4·(x - 1)----> y = 4·x - 14/5

Metto a sistema le due rette:

{y = - 4·x - 6/5

{y = 4·x - 14/5

Risolvo ed ottengo: [x = 1/5 ∧ y = -2]