[Risolto] Considera il fascio di rette di equazione...

@angela_chen

Ciao di nuovo.

(k + 2)·x + (1 - k)·y + 2·k - 1 = 0

si riscrive: k·(x - y + 2) + (2·x + y - 1) = 0

Fascio proprio di rette. Metto a sistema le rette generatrici del fascio:

{x - y + 2 = 0

{2·x + y - 1 = 0

di centro: C(-1/3,5/3) infatti:

{y = x + 2

{y = 1 - 2·x

Risolvendo si ottiene appunto C

Dai loro coefficienti angolari si ricava l'angolo fra esse compreso:

TAN(α) = (-2 - 1)/(1 + (- 2)·1)----> TAN(α) = 3   -----> da  cui α = ATAN(3)

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y = x·(k + 2)/(k - 1) + (2·k - 1)/(k - 1) equazione del fascio: m=(k+2)/(k-1)

y = x----> m=1

TAN(β) = - 1/3

TAN(β) = ((k + 2)/(k - 1) - 1)/(1 + (k + 2)/(k - 1)·1)

((k + 2)/(k - 1) - 1)/(1 + (k + 2)/(k - 1)·1) = - 1/3

3/(k - 1)/((2·k + 1)/(k - 1)) = - 1/3

3/(2·k + 1) = - 1/3------> k = -5

Dalla formula di sottrazione per la tangente (dove 0 < u, v < π)
* tg(u - v) = (tg(u) - tg(v))/(1 + tg(u)*tg(v))
si ricava l'angolo θ fra due rette di pendenze reali, m = tg(u), n = tg(v),
* θ = u - v = (m - n)/(1 + m*n)
Invece l'angolo θ fra una x = k e una retta di pendenza reale m, è
* θ = π/2 - arctg(m)
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Poiché ogni fascio di rette si genera dalla combinazione lineare di DUE QUALSIASI RETTE DISTINTE la richiesta di determinare "l'angolo formato DALLE generatrici", con l'articolo determinativo, appare quanto meno sottospecificata, ma anche incongrua o (volendo dire una cattiveria) dettata da incuria e menefreghismo verso gli alunni così subdolamente indotti a credere che possano esistere "LE generatrici" ed esse soltanto.
L'angolo convesso θ, formato da due qualsiasi possibili generatrici, è zero per ogni fascio improprio e per ogni fascio proprio è fra zero e un angolo piatto, estremi esclusi.
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QUESITO a.
Il fascio, con {k, x, y} reali, di equazione
* r(k) ≡ (k + 2)*x + (1 - k)*y + (2*k - 1) = 0
è un fascio proprio perché i coefficienti delle variabili non sono proporzionali, ed è centrato all'intersezione C(- 1/3, 5/3) fra r(- 2) ed r(1).
Assumendo come generatrici le rette coordinate del centro (x = - 1/3 e y = 5/3) si ha che θ è un angolo retto.
Riscrivendo il fascio per distinzione di casi
* r(k) ≡ (k = 1) & (x = - 1/3) oppure (k != 1) & (y = ((k + 2)/(k - 1))*x + (2*k - 1)/(k - 1))
si evidenziano tutte le possibili pendenze delle r(k)
* m(k) = (k + 2)/(k - 1)
fra le cui rette corrispondenti si formano angoli determinabili come detto all'inizio.
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QUESITO b.
La bisettrice dei quadranti dispari ha pendenza m = 1 e inclinazione π/4.
La pendenza corrispondente al richiesto valore di k sia tg(θ) = (k + 2)/(k - 1).
Il vincolo risolutivo assume la forma
* (tg(π/4 ± θ) = - 1/3) & (tg(θ) = (k + 2)/(k - 1)) & (0 < θ < π) ≡
≡ ((tg(π/4 - θ) = - 1/3) oppure (tg(π/4 + θ) = - 1/3)) & (tg(θ) = (k + 2)/(k - 1)) & (0 < θ < π) ≡
≡ ((tg(θ) = 2) oppure (tg(θ) = - 2)) & (tg(θ) = (k + 2)/(k - 1)) & (0 < θ < π) ≡
≡ ((k + 2)/(k - 1) = 2) oppure ((k + 2)/(k - 1) = - 2) ≡
≡ (k = 4) oppure (k = 0)
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CONCLUSIONE
Evidentemente la mia risoluzione del quesito "b" non è corretta; però non mi va di scoprire dov'è che ho fatto pasticci dal momento che tu hai già gli svolgimenti che t'hanno dato @LucianoP e @Cenerentola e che danno il risultato atteso.
D'altra parte io t'ho dato uno svolgimento rigoroso di come affrontare il quesito "a" là dove loro hanno accettato senza batter ciglio "LE generatrici" con l'articolo determinativo così acquiescendo alle subdole insinuazioni dei libri da licei.