Gli angoli alla circonferenza

Indichiamo con $F$ e $G$ i punti medi di $\overline{ED}$ e $\overline{DC}$ rispettivamente. Se $\widehat{DEC} = \beta$ e $\widehat{FOE}= \alpha$, allora $\widehat{DOC}= 2 \beta$ perché l'angolo al centro è il doppio del suo angolo alla circonferenza, ma $\widehat{CGO}=90^{\circ}$ perché $DCO$ è un triangolo isoscele (dal momento che $\overline{DO} \cong \overline{CO}$ perché raggi della stessa circonferenza), quindi la mediana su una base è anche altezza relativa a quest'ultima e bisettrice dell'angolo opposto, quindi è anche vero che $\widehat{COG}=\beta$. Ovviamente $\alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ e $\alpha ' + \beta + 90^{\circ}=180^{\circ}$, quindi $\alpha + \beta + 90^{\circ} = \alpha ' + \beta + 90^{\circ} \implies \alpha = \alpha '$. Abbiamo dimostrato che $\alpha$ e $\alpha '$ sono congruenti, ma dato che condividono un lato (la retta passante per $\overline{CE}$) sono anche corrispondenti, pertanto $\overline{DC} \parallel \overline{AB}$.

Questo non vale se $\overline{CE} \perp \overline{AB}$.