GEOMETRICA ANALITICA

ENNESIMO ESERCIZIO PUBBLICATO E ASSEGNATO SENZA AVERLO PRIMA RISOLTO: è disumano (sia da parte dell'autore del libro che l'ha scritto che del povero collega che, in classe, s'è fidato dell'autore e l'ha assegnato) appioppare a dei poveri sedicenni un esercizio che generi questi numeri orribili (v. incentro). Lo scopo dell'esercizio sarebbe dovuto essere di verificare conoscenza e comprensione di alcuni procedimenti di calcolo, non certo la capacità di manipolare espressioni numeriche complicate e prone all'errore di trascrizione.
Cose stupide e diseducative come questa impediscono alla sedicenne standard di apprezzare la bellezza della matematica e la inducono invece a convincersi di odiarla, quando lei sta giustamente odiando la stupidità delle persone.
E VABBE', PURE OGGI HO SPARATO ALLE NUVOLE.
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Dalle coordinate dei vertici
* A(- 1, 2), B(- 9, - 2), C(- 5, - 1)
si calcolano i diversi centri come segue.
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1) circumcentro P(- 39/4, 19/2): è equidistante da A, B e C, soluzione di
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = R^2 ≡ P(- 5, 19/6) & (R = (5/2)*√85)
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2) incentro I((- 45 - 20*√5 - √17)/(5 + 4*√5 + √17), (- 10 - 4*√5 + 2*√17)/(5 + 4*√5 + √17)): è equidistante dai tre lati (a, b, c), soluzione di
* |Ia|^2 = |Ib|^2 = |Ic|^2 = r^2 ≡
≡ I((- 45 - 20*√5 - √17)/(5 + 4*√5 + √17), (- 10 - 4*√5 + 2*√17)/(5 + 4*√5 + √17)) & (r = √((90 - 38*√5 + 22*√17 - 10*√85)/(5 + 4*√5 + √17)))
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3) baricentro G(- 5, - 1/3): ogni coordinata è la media delle omologhe dei vertici
* xG = (xA + xB + xC)/3
* yG = (yA + yB + yC)/3
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4) ortocentro O(9/2, - 20): è l'intersezione di due altezze, cioè delle perpendicolari a due lati condotte dai relativi vertici opposti.
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DETTAGLI DI CALCOLO
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A) circumcentro: la scrittura
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = R^2
è il sistema
* (|PA|^2 = R^2) & (|PB|^2 = R^2) & (|PC|^2 = R^2) & (R > 0)
dove
* |PU|^2 = (x - u)^2 + (y - v)^2
è la relazione pitagorica applicata alle differenze di coordinate di P(x, y) e U(u, v).
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B) incentro e ortocentro: la retta di un lato è la congiungente dei suoi vertici.
La retta AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: AB ≡ x = a
* per p = q: AB ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): AB ≡ y = k*x
* per a != b: AB ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
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C) incentro
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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D) ortocentro
Il fascio improprio, di parametro k, delle perpendicolari alla retta y = m*x + q ha la forma
* r(k) ≡ y = k - x/m
fra esse quella per P(u, v), dovendo soddisfare al vincolo
* v = k - u/m ≡ k = v + u/m
risulta
* r(v + u/m) ≡ y = v + (u - x)/m