Nel triangolo rettangolo $A B C$, il cateto $A C$ è doppio del cateto $A B$, la cui lunghezza è $a$. Traccia la parallela $E F$ all'ipotenusa in modo che il rapporto fra il perimetro del trapezio $E B C F$ e il perimetro del triangolo $A E F$ sia $\frac{5-\sqrt{5}}{2}$. Calcola la lunghezza del segmento $E F$. $\left[\frac{3 \sqrt{5}+5}{8} a\right]$
Buongiorno, avrei bisogno di aiuto con questo problema, grazie in anticipo
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Livello 1
Ciao.
Hai a che fare con 2 triangoli rettangoli simili: ABC e AEF.
Fai riferimento ad un sistema di assi cartesiani con origine in A comune ai due triangoli.
Pertanto per il triangolo più grande, l'ipotenusa vale:
√(a^2 + (2·a)^2) = √5·a
Per il triangolo più piccolo con q la misura di AE, l'ipotenusa vale analogamente √5·q
con 0 < q < a da determinare.
Il perimetro EBCF del trapezio vale:
√5·a + (a - q) + √5·q + (2·a - 2·q) = a·(√5 + 3) + q·(√5 - 3)
Il perimetro del triangolo rettangolo vale:
q + 2·q + √5·q = q·(√5 + 3)
Il rapporto fra i due perimetri vale:
(a·(√5 + 3) + q·(√5 - 3))/(q·(√5 + 3)) = (5 - √5)/2
Se la risolvi ottieni : q = a·(√5/8 + 3/8)
Ne consegue che EF= √5·q = a·(√5/8 + 3/8)·√5
e quindi: EF= a·((3·√5 + 5)/8)
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Genius III
@lucianop grazie tante, devo migliorare i metodi!
