E` data, nello spazio euclideo E3, la retta s passante per il punto A ≡
(−1, 3, 0) ed avente coefficienti direttori (1, 2, 2).
(a) Stabilire, al variare del parametro reale λ, la mutua posizione tra s e la
retta
λx − 2y + (λ − 1)z + 7 = 0
2x−y+(λ−2)z−2=0
(b) Determinare, se esistono, i valori del parametro λ tali che s ed rλ siano tra loro ortogonali.
10
punti
Livello 0
Le rette:
s
{x = -1 + t
{y = 3 + 2·t
{z = 2·t
r(λ)
{λ·x - 2·y + (λ - 1)·z + 7 = 0
{2·x - y + (λ - 2)·z - 2 = 0
Sono incidenti se esiste soluzione unica del sistema:
{λ·(-1 + t) - 2·(3 + 2·t) + (λ - 1)·(2·t) + 7 = 0
{2·(-1 + t) - (3 + 2·t) + (λ - 2)·(2·t) - 2 = 0
(ottenibile per sostituzione)
Quindi:
{t·(3·λ - 6) - λ = -1
{t·(λ - 2) = 7/2
quindi per: [t = 7/19 ∧ λ = 23/2]
e sono incidenti nel punto:
{x = -1 + 7/19 = -12/19
{y = 3 + 2·(7/19) = 71/19
{z = 2·(7/19) = 14/19
[- 12/19, 71/19, 14/19]
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Parallele e distinte:
se
λ = 2
in quanto il sistema di sopra, per tale valore di esso :
{t·(3·2 - 6) - 2 = -1
{t·(2 - 2) = 7/2
risulta:
{-2 = -1 eguaglianza assurda
{0 = 7/2
risulta impossibile.
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Rette sghembe pertanto per valori di λ
R\{2,23/2)
quindi λ ≠ 2 ∧ λ ≠ 23/2
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Determiniamo i coefficienti direttori della retta r(λ)
Calcoliamo il determinante:
|i...........j............k|
| λ...... -2.....(λ - 1)|
| 2...... -1....(λ - 2)|
=i·(3 - λ) - j·(λ^2 - 4·λ + 2) + k·(4 - λ)
Quindi: la somma dei prodotti dei coefficienti direttori delle due rette deve essere nulla
(3 - λ)·1 - (λ^2 - 4·λ + 2)·2 + (4 - λ)·2 = 0
- 2·λ^2 + 5·λ + 7 = 0
risolvo ed ottengo:
λ = 7/2 ∨ λ = -1
115467
punti
Genius III
