In un trapezio rettangolo $A B C D$, avente perimetro $48 cm$, l'altezza $A D$ è $\frac{3}{5}$ del lato obliquo $B C$ e la base minore $C D$ è il doppio dell'altezza. Determina:
a. le misure dei lati del trapezio $A B C D$;
b. le misure dei lati del rettangolo $P Q R S$, equivalente al trapezio, sapendo che il lato $P Q$ supera di $10 cm$ il lato $Q R$. $\quad[$ a. $A B=20 cm , B C=10 cm , C D=12 cm$, $A D=6 cm ; b . P Q=16 cm , Q R=6 cm ]$
70
punti
Livello 1
Dati
$DA=3/5x$
$DC=2(3/5x)$
$CB=x$
quindi si deduce che:
$AB=2(3/5x)+HB$
inoltre
$HB=√x^2-(3/5x)^2$
$HB=√x^2-9/25x^2$
$HB=√16/25x^2$
$HB=4/5x$
si riassuma quanto dato dal problema:
$3/5x+6/5x+4/5x+x+6/5x=48$
$24/5x=48$
$x=48(5/24)$
$x=10$
quindi:
$BC=10$
$DC=6/5(10)=12$
$AB= 12+4/5(10)=20$
$DA= 3/5(10)=6$
AREA
$(20+12)6/2$
$96$
Rettangolo
$PQ=x+10$
$QR=x$
quindi:
$x(x+10)=96$
$x^2+10x=96$
$x^2+10x-96=0$ (trinomio speciale)
$(x+16)(x-6)=0$
ci sono due possibili soluzioni:
$x_1=-16$ (soluzione non accettabile, poichè nella geometria euclidea non è possibile avere valori negativi)
$x_2=6$ (soluzione accettabile)
quindi:
$QR=6$
$PQ=6+10=16$
6762
punti
Livello 6
Indico con x la misura del lato obliquo. Quindi:
h = 3/5·x = AD
b = base minore=CD =2·(3/5·x)-----> b = 6·x/5
ΗΒ = 4/5·x = proiezione lato obliquo su base maggiore
(HBC è un triangolo rettangolo derivato da quello primitivo avente dimensioni 3,4,5)
Β = AB= base maggiore= b + Η·Β= 6/5·x + 4/5·x= 2·x
Quindi:
48 = 2·x + x + 6/5·x + 3/5·x---> 48 = 24·x/5---> x = 10 cm
h = AD= 3/5·10 = 6 cm
Β = AB= 2·10 = 20 cm
L'area del trapezio vale:
Α = 1/2·(20 + 12)·6= 96 cm^2 = area rettangolo PQRS
Lato QR=x
Lato PQ= x+10
Quindi:
(x + 10)·x = 96---> x = -16 ∨ x = 6 cm = QR
PQ=16 cm
115478
punti
Genius III
