[Risolto] geometria ed algebra

Foto dritta!!!

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0 circonferenza

{(-3)^2 + 0^2 + a·(-3) + b·0 + c = 0 per [-3, 0]

{1^2 + 2^2 + a·1 + b·2 + c = 0 per [1, 2]

{4^2 + (-7)^2 + a·4 + b·(-7) + c = 0 per [4, -7]

Risolvo quindi:

{3·a - c = 9

{a + 2·b + c = -5

{4·a - 7·b + c = -65

ed ottengo:

[a = -2 ∧ b = 6 ∧ c = -15]

circonferenza:

x^2 + y^2 - 2·x + 6·y - 15 = 0

La metto a sistema con la parabola:

{x^2 + y^2 - 2·x + 6·y - 15 = 0

{y = x^2 - 2·x - 7

procedo per sostituzione:

x^2 + (x^2 - 2·x - 7)^2 - 2·x + 6·(x^2 - 2·x - 7) - 15 = 0

ottengo:

x^4 - 4·x^3 - 3·x^2 + 14·x - 8 = 0

(x + 2)·(x - 4)·(x - 1)^2 = 0

(radice doppia in x=1)

x = 4 ∨ x = -2 ∨ x = 1

Quindi soluzione sistema: [x = 1 ∧ y = -8, x = -2 ∧ y = 1, x = 4 ∧ y = 1]:

x=4: y = 4^2 - 2·4 - 7----> y = 1

x=-2:y = (-2)^2 - 2·(-2) - 7---> y = 1

x=1 :  y = 1^2 - 2·1 - 7----> y = -8

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γc ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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"come si calcolo circonferenze????"
Per tre punti non allineati
* A(- 3, 0), B(1, 2), C(4, - 7)
passa una e una sola circonferenza, circumcerchio del loro triangolo, che si determina risolvendo il sistema dei tre vincoli di passaggio
* ((- 3 - a)^2 + (0 - b)^2 = q) & ((1 - a)^2 + (2 - b)^2 = q) & ((4 - a)^2 + (- 7 - b)^2 = q) ≡
≡ (q = a^2 + b^2 + 6*a + 9) & (a^2 + b^2 - 2*a - 4*b + 5 = a^2 + b^2 + 6*a + 9) & (a^2 + b^2 - 8*a + 14*b + 65 = a^2 + b^2 + 6*a + 9) ≡
≡ (q = a^2 + b^2 + 6*a + 9) & (b = - (2*a + 1)) & (b = a - 4) ≡
≡ (a = 1) & (b = - 3) & (q = 25)
da cui
* Γc ≡ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25 = 5^2
* C(1, - 3)
* r = 5
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ESERCIZIO 415
La parabola
* Γh ≡ y = x^2 - 2*x - 7
ha pendenza
* m(x) = 2*(x - 1)
e interseca la circonferenza nelle soluzioni del sistema
* Γh & Γc ≡ (y = x^2 - 2*x - 7) & ((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25) ≡
≡ (y = (x - 1)^2 - 8) & ((x - 1)^2 + ((x - 1)^2 - 8 + 3)^2 = 25) ≡
≡ (x^4 - 4*x^3 - 3*x^2 + 14*x - 8 = 0) & (y = (x - 1)^2 - 8) ≡
≡ ((x + 2)*(x - 4)*(x - 1)^2 = 0) & (y = (x - 1)^2 - 8) ≡
≡ ((x = - 2) oppure (x = 4) oppure (x = 1)) & (y = (x - 1)^2 - 8) ≡
≡ (x = - 2) & (y = (- 2 - 1)^2 - 8 = 1) oppure (x = 4) & (y = (4 - 1)^2 - 8 = 1) oppure (x = 1) & (y = (1 - 1)^2 - 8 = - 8) ≡
≡ P(- 2, 1) oppure Q(4, 1) oppure R(1, - 8)
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28y%3Dx%5E2-2*x-7%29%26%28%28x-1%29%5E2%3D25-%28y--3%29%5E2%29
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Nel punto R, di ordinata minore, la pendenza è
* m(1) = 2*(1 - 1) = 0
quindi
* t ≡ y = - 8