Sia $A B C$ un triangolo isoscele di base $A B$ inscritto in una circonferenza di raggio $9 \mathrm{~cm}$. Determina la lunghezza dell'altezza $\mathrm{CH}$ in modo che la somma dei lati obliqui sia il triplo della base.
$[16 \mathrm{~cm}]$
Sia $A B C$ un triangolo isoscele di base $A B$ inscritto in una circonferenza di raggio $9 \mathrm{~cm}$. Determina la lunghezza dell'altezza $\mathrm{CH}$ in modo che la somma dei lati obliqui sia il triplo della base.
$[16 \mathrm{~cm}]$
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Livello 0
Ok
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Genius II
Chiaramente L = 3/2 b
Se poniamo CH = x, dal Teorema di Pitagora risulta
(x - 9)^2 + (b/2)^2 = 9^2
x^2 + (b/2)^2 = 9 b^2/4
le misure sono in cm
x^2 - 18 x + b^2/4 = 0
x^2 = 2 b^2
x = b rad 2
2 b^2 - 18 b rad 2 + b^2/4 = 0
8 b^2 - 72 b rad 2 + b^2 = 0
9 b^2 - 72 b rad 2 = 0
b = 8 rad 2
x = 8 rad 2 * rad 2 = 8*2 = 16
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Livello 7
Innanzitutto foto dritte:
Ti conviene fare riferimento ad una circonferenza di centro in O(0,0) e raggio r=9 (cm)
Quindi sfruttare la simmetria del problema ponendo il vertice del triangolo isoscele in C(0,9).
Quindi mettere a sistema:
{x^2 + y^2 = 81
{ y = k
Lo risolvi: [x = √(81 - k^2) ∧ y = k, x = - √(81 - k^2) ∧ y = k]
Riconosci la base BC:
BC=2·√(81 - k^2)
Riconosci l'altezza h del triangolo:
h=9+k
quindi con Pitagora riconosci il lato obliquo:
L=√((81 - k^2) + (9 - k)^2) = 3·√2·√(9 - k)
Quindi devi dire che:
2·(3·√2·√(9-k)) = 3·(2·√(81 - k^2))
Se risolvi questa equazione irrazionale (elevando al quadrato entrambi i due membri) etc. etc.
ottieni come soluzione: k = 9 ∨ k = -7
Scarti la prima perché incoerente con il problema (retta tangente in A)
Quindi l'altezza h del triangolo è:
h=9-(-7)=16 cm
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Genius III