geometria analitica-parametri

Se il punto P appartiene alla retta data:

y = 1/3·x + 1

Vuol dire che le se coordinate soddisfano tale equazione:

5 - k = 1/3·k + 1

quindi la risolvi ed ottieni:

k = 3

@LucianoP
Sto pubblicando dopo un parco desinare e qualche terapia, alle tre meno un quarto: è pomeriggio o no?
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@elis_09
Se hai iniziato da poco allora ciò che fai è imparare a mettere in corrispondenza espressioni algebriche nelle due variabili (x, y) con disegnini di vario genere su un foglio dotato di un riferimento Oxy (O è il punto in cui s'incrociano le due rette orientate che costituiscono gli assi coordinati delle due variabili).
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"una piccola introduzione sui parametri", anzi minima, è quella di considerare cosa succede ai disegnini nel caso in cui nelle espressioni algebriche compare una terza variabile (k) che, solo per distinguerla dalle variabili coordinate, si chiama parametro: per ogni particolare valore di k le variabili x e y restano tali e quali, ma almeno uno dei coefficienti dell'espressione cambia valore; quindi il grafico che rappresenta l'espressione cambia forma.
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NOTA IMPORTANTE
Il cambiamento di forma riguarda solo ciò che ha cambiato valore fissando il parametro.
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ESEMPIO
Nell'equazione di una retta in forma esplicita (come nel tuo esercizio d'allenamento)
* r ≡ y = m*x + q
il coefficiente "q" (intercetta) rappresenta l'ordinata del punto in cui r incrocia l'asse y e il coefficiente "m" (pendenza o coefficiente angolare) rappresenta di quanto muta l'ordinata fra due punti della retta le cui ascisse differiscano di un'unità.
Se uno dei coefficienti non è solo un numero, ma è un'espressione nel parametro, allora al mutare di k la retta si alza o si abbassa nel caso che sia solo q ad essere parametrico
* r(k) ≡ y = m*x + q(k)
oppure ruota attorno al punto Y(0, q) nel caso che sia solo m ad essere parametrico
* r(k) ≡ y = m(k)*x + q
o, nel caso siano entrambi parametrici,
* r(k) ≡ y = m(k)*x + q(k)
ruota attorno a un punto diverso da Y(0, q) perché mutano sia la pendenza che l'intercetta.
FINE DELLA MINIMA INTRODUZIONE
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ESERCIZIO D'ALLENAMENTO
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Dati
* una retta non parametrica: r ≡ y = (1/3)*x + 1
* un punto parametrico: P(k, 5 - k)
si chiede di determinare, se esistono, tutti i valori di k per cui P appartenga ad r oppure di spiegare perché non ne possano esistere.
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Per risolvere questo tipo di problemi si deve rammentare che è infruttuoso confrontare pere con mele o conigli con galline o rette con punti, ma che le cose si capiscono bene quando i rapporti avvengono fra pari.
In questo caso è opportuno o individuare i punti R(x, (1/3)*x + 1) che percorrono la retta r al variare di x oppure la retta p ≡ y = 5 - x percorsa dai punti P per ogni x = k.
La scelta fra i due approcci equivalenti dipende solo da cosa ti è più facile da intuire per il confronto: se vedi più facilmente due rette su un piano (intuizione geometrica) che devono avere un punto in comune o dimostrarsi parallele oppure t'è più spontaneo vedere due espressioni delle coordinate (intuizione simbolica) che devono poter coincidere o dimostrarsi non unificabili.
Quale sia la tua reazione spontanea dipende da chi (mamma, zia, nonna) e come t'ha convinto a usare il vasino invece del pannolino, a dire "le paroline gentili" (per favore, grazie, buongiorno), e in genere ad accettare il passaggio da cucciolo a bambino; e poi dal maestro che t'ha convinto a passare da bambino a scolaro. Se sei stato fortunato hai sviluppato entrambi i tipi di reazione.
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Se vedi meglio le rette
* (y = 5 - x) & (y = (1/3)*x + 1) ≡
≡ (y = 5 - x) & (5 - x = (1/3)*x + 1) ≡
≡ (y = 5 - x) & ((1/3)*x + 1 - (5 - x) = 0) ≡
≡ ((4/3)*(x - 3) = 0) & (y = 5 - x) ≡
≡ (x = 3) & (y = 5 - 3 = 2) ≡
≡ P(3, 2)
* P(3, 2) = (k, 5 - k) se e solo se k = 3
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Se vedi meglio le espressioni
Conviene scrivere le ordinate nella forma pendenza-intercetta
* R(x, (1/3)*x + 1) e P(k, - k + 5)
da cui si vede che coincidono sottraendo uno ad entrambe e triplicando il risultato, cioè per
* x = 12 - 3*k
ma, dovendo coincidere anche le ascisse, dev'essere
* x = 12 - 3*k = k
cioè
* k = 3
com'è giusto che sia.

Riproponila nel pomeriggio.