Geometria analitica Parabole

y = ax^2 + bx + 4

y = 0

la risolvente ax^2 + bx + 4 = 0

deve avere D = b^2 - 16 a= 0

y = 2x + q

deve essere tangente in x = 3

Ciò vuol dire che

ax^2 + bx + 4 - 2x - q = 0

ax^2 + (b - 2)x + 4 - q = 0

b^2/16 x^2 + (b - 2) x + 4 - q = 0

x^2 + 16(b - 2)/b^2 x + 16(4-q)/b^2 = 0

deve avere 3 come radice doppia

per cui deve essere

16(b - 2)/b^2 = - 6

16(4 - q)/b^2 = 9

16b - 32 = -6b^2

3b^2 + 8b - 16 = 0

b = (-4 +- rad(16 + 48))/3 = (-4 +- 8)/3 = -4 V 4/3

Se b = -4 allora a = b^2/16 = 1 e y = x^2 - 4x + 4

se b = 4/3 allora a = b^2/16 = 1/9 e y = 1/9 x^2 - 4/3 x + 4

Se ti va di calcolare q usi l'altra equazione.

Le parabole non degeneri della forma
* y = a*x^2 + b*x + 4 = a*(x + b/(2*a))^2 + 4 - b^2/(4*a)
si possono anche riscrivere nella forma
* y = h + a*(x - w)^2
di pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
dove si evidenzia il vertice
* V(w, h) = (- b/(2*a), 4 - b^2/(4*a))
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"tangenti all'asse delle ascisse" ≡ h = 4 - b^2/(4*a) = 0 ≡ a = b^2/16
da cui
* y = (b^2/16)*(x - w)^2
* m(x) = (b^2/8)*(x - w)
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"e aventi ... angolare 2" ≡ m(3) = (b^2/8)*(3 - w) = 2 ≡ w = 3 - 16/b^2
da cui
* y = ((x - 3)*b^2 + 16)^2/(16*b^2)
* m(x) = ((x - 3)*b^2 + 16)/8
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«Scrivi le equazioni delle parabole ...» l'equazione del fascio è
* Γ(b) ≡ y = ((x - 3)*b^2 + 16)^2/(16*b^2)
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«Le soluzioni sono y = x^2 -4x+4 e y= (x^2)/9 + 4/3 x +4»
* Γ(± 4) ≡ y = x^2 - 4*x + 4
* Γ(± 4/3) ≡ y = x^2/9 + 4*x/3 + 4
e poi ce ne sono infinite altre.