[Risolto] Geometria analitica: Parabola es 59

Dove c'è un solo parametro io ho il pallino di chiamarlo "k" (il nome "m" lo riservo per le pendenze ed "a" per l'apertura delle parabole).
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Dati i due fasci di parabole con il medesimo parametro
* Γ1(k) ≡ y = (k - 1)*x^2 - 2*x + 3
* Γ2(k) ≡ y = (3 - 2*k)*x^2 + x - 2
si chiede di calcolare, se esistono, i valori di k tali che:
1) Γ1 e Γ2 siano congruenti, cioè abbiano la stessa forma;
2) Γ1 e Γ2 abbiano lo stesso asse di simmetria.
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1) Γ1 e Γ2 hanno la stessa forma se e solo se hanno la stessa apertura.
* (k - 1) = (3 - 2*k) ≡ k = 4/3
* Γ1(4/3) ≡ y = (1/3)*x^2 - 2*x + 3
* Γ2(4/3) ≡ y = (1/3)*x^2 + x - 2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-3%3D%281%2F3%29*x%5E2-2*x%2Cy-x%3D%281%2F3%29*x%5E2-2%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-3to15
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2) Γ1 e Γ2 hanno lo stesso asse di simmetria se e solo se i vertici hanno la stessa ascissa.
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* Γ1(k) ≡ y = (k - 1)*x^2 - 2*x + 3 ≡
≡ y = (k - 1)*(x - 1/(k - 1))^2 - 1/(k - 1) + 3
* V1(1/(k - 1), 3 - 1/(k - 1))
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* Γ2(k) ≡ y = (3 - 2*k)*x^2 + x - 2 ≡
≡ (3 - 2*k)*(x + 1/(2*(3 - 2*k)))^2 - 1/(4*(3 - 2*k)) - 2
* V2(- 1/(2*(3 - 2*k)), - 1/(4*(3 - 2*k)) - 2)
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* xV1 = xV2 ≡ 1/(k - 1) = - 1/(2*(3 - 2*k)) ≡ k = 5/3 →
→ xV1 = xV2 = 3/2
* Γ1(5/3) ≡ y = (2/3)*x^2 - 2*x + 3
* Γ2(5/3) ≡ y = (- 1/3)*x^2 + x - 2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3D3%2F2%2Cy-3%3D%282%2F3%29*x%5E2-2*x%2Cy+%3Dx-x%5E2%2F3-2%5D

ABS(a - 1) = ABS(3 - 2·a)

elevo al quadrato:

(a - 1)^2 = (2·a - 3)^2

4·a^2 - 12·a + 9 - (a^2 - 2·a + 1) = 0

3·a^2 - 10·a + 8 = 0

risolvo ed ottengo:

a = 4/3 ∨ a = 2

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y = a·x^2 + b·x + c

asse: x = - b/(2·a)

quindi:

2/(2·(a - 1)) = - 1/(2·(3 - 2·a))

posto le C.E. 2·(a - 1)·(3 - 2·a) ≠ 0

a ≠ 3/2 ∧ a ≠ 1

portando l'equazione alla forma intera e risolvendo:

a = 5/3