Scrivi le equazioni cartesiane della retta $s$ passante per il punto $A(1 ; 2 ; 3)$ e perpendicolare al piano $\beta$, che contiene la retta $r$ di equazioni $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{1}$ e passa per il punto $B(6 ; 0 ; 1)$.
$$
\left[\frac{x-1}{7}=y-2=\frac{3-z}{16}\right]
$$
Scrivere l’equazione di una retta S sapendo che passa per un punto A e che è perpendicolare ad un piano passante per una retta R e per un punto B.
4
punti
Livello 0
Ci sono più modi per farlo.
Personalmente non amo questo modo di esprimere le rette, fra l'altro con frazioni (il fratto 1 non si può davvero vedere). Riscrivi la retta
$\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{1}$
come sistema di due piani:
$x-1=y-3$ ovvero $x-y+2=0$
$y-3=2z+2$ ovvero $y-2z-5=0$
il fascio di piani che ha per sostegno questa retta è:
$a(x-y+2)+b(y-2z-5)=0$
imponi il passaggio per il punto B e trovi il piano:
$7x+y-16z-26=0$
adesso hai il vettore perpendicolare al piano, ovvero $v=(7,1,-16)$
Quindi la retta in forma parametrica si scrive:
$x=7t+1$
$y=t+2$
$z=-16t+3$
17092
punti
Livello 9
Determino il piano β
a·x + b·y + c·z + d = 0
contenente la retta: (x - 1)/2 = (y - 3)/2 = (z + 1)/1 ed il punto [6, 0, 1]
A tal fine scrivo la retta con equazioni parametriche:
{(x - 1)/2 = (y - 3)/2
{(y - 3)/2 = (z + 1)/1
Pongo z = t
Quindi:
(y - 3)/2 = (t + 1)/1----> y = 2·t + 5
(x - 1)/2 = ((2·t + 5) - 3)/2----> x = 2·t + 3
Equazioni parametriche:
{x = 2·t + 3
{y = 2·t + 5
{z = t
Determino 2 punti su questa retta:
t = 0------> [3, 5, 0]
t = 1-------> [5, 7, 1]
Il terzo è:
[6, 0, 1]
Faccio passare il piano per questi tre punti:
{a·3 + b·5 + c·0 + d = 0
{a·5 + b·7 + c·1 + d = 0
{a·6 + b·0 + c·1 + d = 0
risolvo ed ottengo:[a = - 7·d/26 ∧ b = - d/26 ∧ c = 8·d/13]
Scelgo d = -26
[a = 7 ∧ b = 1 ∧ c = -16]
7·x + y - 16·z - 26 = 0
-----------------------------------
Retta ad esso perpendicolare, passante per [1, 2, 3]:
{x = 1 + 7·t
{y = 2 + t
{z = 3 - 16·t
Ottengo t dalle tre equazioni:
t = (x - 1)/7 ; t = y - 2 ; t = (3 - z)/16
e scrivo la retta desiderata:
(x - 1)/7 = (y - 2)/1 = (3 - z)/16
115498
punti
Genius III
L'allegato duplicato 291 chiede la retta 's' per A(1, 2, 3), che sia ortogonale al piano β.
Il piano β, per B(6, 0, 1), contiene la retta 'r'
* r ≡ (x - 1)/2 = (y - 3)/2 = (z + 1)/1
e si determina come piano del triangolo BPQ, con P e Q distinti su r.
---------------
Per z = - 1 si ha P(1, 3, - 1)
Per y = - 1 si ha Q(- 3, - 1, - 3)
da cui la soluzione dei tre vincoli d'appartenenza a β dà
* β ≡ 7*x + y - 16*z - 26 = 0
con versore normale
* n ≡ (- 7, - 1, 16)/(3*√34)
---------------
La retta 's' per A(1, 2, 3) ortogonale a β risulta
* s ≡ (x = 1 - 7*t) & (y = 2 - t) & (z = 3 + 16*t) ≡
≡ (t = (z - 3)/16) & (x = (37 - 7*z)/16) & (y = (35 - z)/16) ≡
≡ (x = (37 - 7*z)/16) & (y = (35 - z)/16) ≡
≡ (1 - x)/7 = (2 - y) = (z - 3)/16
57798
punti
Genius I
