[Risolto] Geometria analitica nello spazio

@eva123

Ciao.

Il problema lo riporto ad un piano passante per tre punti.

x - 3 = y + 4 = z/2

pongo z=2t ed ottengo le funzioni parametriche della retta:

{x = t + 3

{y = t - 4

{z = 2·t

Quindi assegno a t due valori opportuni;

t = 0--------> [3, -4, 0]

t = 1------> [4, -3, 2]

poi ho il punto: [5, 0, -2]

Equazione implicita del piano:

a·x + b·y + c·z + d = 0

passaggio per i tre punti:

{a·3 + b·(-4) + c·0 + d = 0

{a·4 + b·(-3) + c·2 + d = 0

{a·5 + b·0 + c·(-2) + d = 0

Risolvo quindi:

{3·a - 4·b + d = 0

{4·a - 3·b + 2·c + d = 0

{5·a - 2·c + d = 0

ed ottengo: [a = - 5·d/27 ∧ b = d/9 ∧ c = d/27]

(- 5·d/27)·x + d/9·y + d/27·z + d = 0

((- 5·d/27)·x + d/9·y + d/27·z + d = 0)·(- 27/d)

5·x - 3·y - z - 27 = 0

Il calcolo é un pò lungo e non lo svolgo tutto, ma il concetto é semplice

Posto t = x - 3 = y + 4 = z/2

hai x = t + 3

y = t - 4

z = 2 t

per cui v = (1 1 2)

se la normale al piano é (a b c) e deve essere perpendicolare a v allora

a + b + 2c = 0 => b = -a - 2c

e il piano sarà descritto da ax + (-a - 2c) y + cz + d = 0

Ponendo t = 0 hai il punto Q = (3, -4, 0)

e P = (5, 0, -2) assegnato dalla traccia.

Imponendo due condizioni di appartenenza ottieni

3a - 4(-a - 2c) + d = 0

5a - 2c + d

e risolvi--- i calcoli li lascio a te

ti dovrà venire a = -5c, b = 3c, d = 27 c

da cui  -5 cx + 3 cy + cz + 27 c = 0

5x - 3y - z - 27 = 0

La retta
* r ≡ x - 3 = y + 4 = z/2 = u ≡
≡ (x - y - 7 = 0) & (2*y - z + 8 = 0) ≡
≡ (x = u + 3) & (y = u - 4) & (z = 2*u)
deve giacere sul generico piano α per P(5, 0, - 2), sempre che P non sia su r.
* test: (5 = u + 3) & (0 = u - 4) & (- 2 = 2*u) ≡ impossibile ≡ P ∉ r.
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La condizione d'appartenenza di P al fascio di asse r
* α(a, b) ≡ a*(x - y - 7) + b*(2*y - z + 8) = 0
è
* a*(5 - 0 - 7) + b*(2*0 + 2 + 8) = 0 ≡ a = 5*b
da cui
* α(5*b, b) ≡ 5*b*(x - y - 7) + b*(2*y - z + 8) = 0 ≡ 5*x - 3*y - z - 27 = 0